Смешанное произведение

5-04-2021, 11:13

Смешанное произведение ( a , b , c ) {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )} векторов a , b , c {displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} } — скалярное произведение вектора a {displaystyle mathbf {a} } на векторное произведение векторов b {displaystyle mathbf {b} } и c {displaystyle mathbf {c} } :

( a , b , c ) = a ⋅ ( b × c ) {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )=mathbf {a} cdot left(mathbf {b} imes mathbf {c} ight)} .

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами a , b , c {displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} } .

Свойства

  • Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
( a , b , c ) = ( b , c , a ) = ( c , a , b ) = − ( b , a , c ) = − ( c , b , a ) = − ( a , c , b ) ; {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )=(mathbf {b} ,mathbf {c} ,mathbf {a} )=(mathbf {c} ,mathbf {a} ,mathbf {b} )=-(mathbf {b} ,mathbf {a} ,mathbf {c} )=-(mathbf {c} ,mathbf {b} ,mathbf {a} )=-(mathbf {a} ,mathbf {c} ,mathbf {b} );} т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что ⟨ a , [ b , c ] ⟩ = ⟨ [ a , b ] , c ⟩ {displaystyle langle mathbf {a} ,[mathbf {b} ,mathbf {c} ] angle =langle [mathbf {a} ,mathbf {b} ],mathbf {c} angle }
  • Смешанное произведение ( a , b , c ) {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )} в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов a , b {displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } и c {displaystyle mathbf {c} } :
( a , b , c ) = | a x a y a z b x b y b z c x c y c z | . {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )={egin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}b_{x}&b_{y}&b_{z}c_{x}&c_{y}&c_{z}end{vmatrix}}.}
  • Смешанное произведение ( a , b , c ) {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )} в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов a , b {displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } и c {displaystyle mathbf {c} } , взятому со знаком «минус»:
( a , b , c ) = − | a x a y a z b x b y b z c x c y c z | . {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )=-{egin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}b_{x}&b_{y}&b_{z}c_{x}&c_{y}&c_{z}end{vmatrix}}.} В частности,
  • Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
  • Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
  • Геометрический смысл — Смешанное произведение ( a , b , c ) {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )} по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами a , b {displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } и c {displaystyle mathbf {c} } ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
  • Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими.
  • Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:
( a , b , c ) = ∑ i , j , k ε i j k a i b j c k {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )=sum _{i,j,k}varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение

В   n {displaystyle n} -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы n × n {displaystyle n imes n} , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный   n {displaystyle n} -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

( a , b , c , … ) = ∑ i , j , k , … ε i j k … a i b j c k … {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} ,ldots )=sum _{i,j,k,ldots }varepsilon _{ijkldots }a^{i}b^{j}c^{k}ldots }

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.


  • Уравнение переноса
  • Дважды стохастическая матрица
  • Метод конечных разностей
  • Альтернатива Титса
  • Число Коксетера

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования