Поверхность Боя
Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.
История
Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году. По предложению Гильберта, Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.
Построение
Свойства
- Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию. То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
- В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
- Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы.
Параметризация Брайанта — Кунсера
Наиболее естественная параметризация была предложена Кунсером Роба и Робертом Брайантом.
Для комплексного числа w {displaystyle w} , пусть
g 1 = − 3 2 ⋅ I m [ w ⋅ ( 1 − w 4 ) w 6 + 5 ⋅ w 3 − 1 ] g 2 = − 3 2 ⋅ R e [ w ⋅ ( 1 + w 4 ) w 6 + 5 ⋅ w 3 − 1 ] g 3 = I m [ 1 + w 6 w 6 + 5 ⋅ w 3 − 1 ] − 1 2 {displaystyle {egin{aligned}g_{1}&=-{3 over 2}cdot mathrm {Im} left[{wcdot (1-w^{4}) over w^{6}+{sqrt {5}}cdot w^{3}-1} ight]g_{2}&=-{3 over 2}cdot mathrm {Re} left[{wcdot (1+w^{4}) over w^{6}+{sqrt {5}}cdot w^{3}-1} ight]g_{3}&=mathrm {Im} left[{1+w^{6} over w^{6}+{sqrt {5}}cdot w^{3}-1} ight]-{1 over 2}end{aligned}}}Поверхность w ↦ ( g 1 , g 2 , g 3 ) {displaystyle wmapsto (g_{1},g_{2},g_{3})} является минимальной поверхностью с тремя концами. Её инверсия, то есть поверхность w ↦ ( x , y , z ) {displaystyle wmapsto (x,y,z)} задаваемая как
( x y z ) = 1 g 1 2 + g 2 2 + g 3 2 ⋅ ( g 1 g 2 g 3 ) . {displaystyle {egin{pmatrix}xyzend{pmatrix}}={frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}cdot {egin{pmatrix}g_{1}g_{2}g_{3}end{pmatrix}}.}и есть поверхности Боя.
Замечания
- Поверхность остаётся неизменной при замене w ↦ − 1 w ¯ {displaystyle wmapsto -{ frac {1}{ar {w}}}} , где w ¯ {displaystyle {ar {w}}} комплексно-сопряженное к w {displaystyle w} .