Случайный процесс

7-04-2021, 10:59

Случайный процесс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Определение

Пусть ( E , B ) {displaystyle (E,{mathfrak {B}})} — измеримое пространство, T {displaystyle T} множество значений параметра t {displaystyle t} . Функция ξ = ξ ( t ) {displaystyle xi =xi (t)} параметра t ∈ T {displaystyle tin T} , значениями которой являются случайные величины ξ ( t ) = ξ ( ω , t ) {displaystyle xi (t)=xi (omega ,t)} на пространстве элементарных событий ( Ω , A , P ) {displaystyle (Omega ,{mathfrak {A}},mathbb {P} )} в фазовом пространстве ( E , B ) {displaystyle (E,{mathfrak {B}})} , называется случайным процессом в фазовом пространстве ( E , B ) {displaystyle (E,{mathfrak {B}})} .

Терминология

Используемые в области исследований и прикладного применения случайных процессов классификация и терминология являются нестрогими. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция». В зависимости от вида множества T {displaystyle T} часто применяются следующие термины.

  • Если T ⊂ R {displaystyle Tsubset mathbb {R} } , то параметр t ∈ T {displaystyle tin T} может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция { X t } {displaystyle {X_{t}}} называется случайным процессом. Если множество T {displaystyle T} дискретно, например T ⊂ N {displaystyle Tsubset mathbb {N} } , то такой случайный процесс называется случайной последовательностью.
  • Если T ⊂ R n {displaystyle Tsubset mathbb {R} ^{n}} , где n ⩾ 1 {displaystyle ngeqslant 1} , то параметр t ∈ T {displaystyle tin T} может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случайным полем.

Основные сведения

Всевозможные совместные распределения вероятностей значений ξ ( t 1 ) , . . . , ξ ( t n ) , t 1 , . . . , t n ∈ T {displaystyle xi (t_{1}),...,xi (t_{n}),t_{1},...,t_{n}in T} :

P t 1 , . . . , t n ( B 1 , . . . B n ) = P { ξ ( t 1 ) ∈ B 1 , . . . , ξ ( t n ) ∈ B n } ( B 1 , . . . B n ∈ B ) {displaystyle P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=Pleft{xi (t_{1})in B_{1},...,xi (t_{n})in B_{n} ight}(B_{1},...B_{n}in {mathfrak {B}})}

называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса ξ = ξ ( t ) {displaystyle xi =xi (t)} .
Случайные процессы ξ = ξ ( t ) {displaystyle xi =xi (t)} и η = η ( t ) {displaystyle eta =eta (t)} , принимающие значение в фазовом пространстве ( E , B ) {displaystyle (E,{mathfrak {B}})} называется эквивалентными, если при любом t ∈ T {displaystyle tin T} эквивалентны соответствующие значения ξ ( t ) = ξ ( ω , t ) {displaystyle xi (t)=xi (omega ,t)} и η ( t ) = η ( ω , t ) {displaystyle eta (t)=eta (omega ,t)} .

При каждом фиксированном ω ∈ Ω {displaystyle omega in Omega } функция ξ ( t ) = ξ ( ω , t ) {displaystyle xi (t)=xi (omega ,t)} параметра t {displaystyle t} со значениями в фазовом пространстве ( E , B ) {displaystyle (E,{mathfrak {B}})} называется реализацией или траекторией случайного процесса ξ = ξ ( t ) {displaystyle xi =xi (t)} . Случайный процесс ξ = ξ ( t ) {displaystyle xi =xi (t)} называется непосредственно заданным, если каждый элементарный исход описывается соответствующей траекторией x = x ( t ) {displaystyle x=x(t)} в функциональном пространстве E = E T {displaystyle E=E^{T}} всех функций на множестве T {displaystyle T} со значениями в фазовом пространстве ( E , B ) {displaystyle (E,{mathfrak {B}})} ; точнее, если Ω = X {displaystyle Omega =X} и σ {displaystyle sigma } — алгебра A {displaystyle {mathfrak {A}}} порождается всевозможными цилиндрическими множествами x ( t 1 ) ∈ B 1 , . . . , x ( t n ) ∈ B n {displaystyle {x(t_{1})in B_{1},...,x(t_{n})in B_{n}}} , где t 1 , . . . , t n ∈ T {displaystyle t_{1},...,t_{n}in T} и B 1 , . . . B n ∈ B ) {displaystyle B_{1},...B_{n}in {mathfrak {B}})} , а значения ξ ( t ) = ξ ( x , t ) {displaystyle xi (t)=xi (x,t)} имеют вид ξ ( x , t ) = x ( t ) {displaystyle xi (x,t)=x(t)} , x ∈ X {displaystyle xin X} . Любому случайному процессу можно поставить в соответствие непосредственно заданный случайный процесс с теми же самыми конечномерный распределениями. Для каждого согласованного семейства конечномерных распределений вероятностей P t 1 , . . . , t n ( B 1 , . . . B n ) {displaystyle P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})} ( t 1 , . . . , t n ∈ T , B 1 , . . . B n ∈ B {displaystyle t_{1},...,t_{n}in T,B_{1},...B_{n}in {mathfrak {B}}} таких, что P t = P t ( B ) , t ∈ T {displaystyle P_{t}=P_{t}(B),tin T} , являются плотными мерами в фазовом топологическом пространстве ( E , B ) {displaystyle (E,{mathfrak {B}})} , существует непосредственно заданный случайный процесс ξ = ξ ( t ) {displaystyle xi =xi (t)} с такими же конечномерными распределениями вероятностей.

Ковариационная функция. Пусть ξ = ξ ( t ) {displaystyle xi =xi (t)} действительный или комплексный случайный процесс на множестве T {displaystyle T} , имеющий вторые моменты: E | ξ ( t ) | 2 < ∞ {displaystyle E|xi (t)|^{2}<infty } . Значения случайного процесса ξ = ξ ( t ) {displaystyle xi =xi (t)} можно рассматривать как элементы гильбертова пространства L 2 ( Ω ) {displaystyle L^{2}(Omega )} — пространства всех случайных величин η {displaystyle eta } , E | η ( t ) | 2 < ∞ {displaystyle E|eta (t)|^{2}<infty } , со скалярным произведением

( η 1 , η 2 ) = E η 1 η ¯ 2 {displaystyle ({eta }_{1},{eta }_{2})=E{eta }_{1}{overline {eta }}_{2}} .

Важнейшими характеристиками такого случайного процесса ξ ( t ) {displaystyle xi (t)} являются его математическое ожидание

A ( t ) = E ξ ( t ) = ( ξ ( t ) , 1 ) {displaystyle A(t)=Exi (t)=(xi (t),1)}

и ковариационная функция

B ( s , t ) = E ξ ( s ) ξ ( t ) ¯ = ( ξ ( s ) , ξ ( t ) ) {displaystyle B(s,t)=E{xi (s)}{overline {xi (t)}}=(xi (s),xi (t))} .

Вместо ковариационной функции может применятся корреляционная функция B ( s , t ) = E ξ ( s ) ξ ( t ) ¯ − A ( s ) A ( t ) ¯ {displaystyle B(s,t)=E{xi (s)}{overline {xi (t)}}-A(s){overline {A(t)}}} , являющуюся ковариационной функцией процесса ξ ( t ) − A ( t ) {displaystyle xi (t)-A(t)} с нулевым математическим ожиданием.
При равенстве аргументов ( s = t {displaystyle s=t} ) корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса

B ( s , s ) = E ( ξ ( s ) − A ( s ) ) ( ξ ( s ) − A ( s ) ¯ ) = D ( s ) {displaystyle B(s,s)=E(xi (s)-A(s))({overline {xi (s)-A(s)}})=D(s)} .

Функция B ( s , t ) {displaystyle B(s,t)} двух переменных s {displaystyle s} и t {displaystyle t} является ковариационной функцией некоторого случайного процесса ξ ( t ) {displaystyle xi (t)} , E | ξ ( t ) | 2 < ∞ {displaystyle E|xi (t)|^{2}<infty } , тогда и только тогда, когда она для всех n = 1 , 2 , . . . {displaystyle n=1,2,...} удовлетворяет следующему условию положительной определенности:

∑ k = 1 n ∑ j = 1 n B ( t k , t j ) c k c j ¯ ⩾ 0 {displaystyle sum _{k=1}^{n}sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k}}{overline {c_{j}}}geqslant 0}

для любых t 1 , t 2 , . . . t n ∈ T {displaystyle t_{1},t_{2},...t_{n}in T} и любых комплексных чисел c 1 , c 2 . . . , c n {displaystyle c_{1},c_{2}...,c_{n}} .

Классификация

  • Случайный процесс X ( t ) {displaystyle X(t)} называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t 1 , t 2 , … {displaystyle ;t_{1},t_{2},ldots } , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
  • Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
  • Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t 1 , t 2 , … , t n {displaystyle ;t_{1},t_{2},ldots ,t_{n}} , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
  • Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
  • Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом.
  • Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
  • Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
  • Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора t 1 , t 2 , … , t n {displaystyle t_{1},t_{2},ldots ,t_{n}} , где n > 2 {displaystyle n>2} , а t 1 < t 2 < … < t n {displaystyle t_{1}<t_{2}<ldots <t_{n}} , случайные величины ( X t 2 − X t 1 ) {displaystyle (X_{t_{2}}-X_{t_{1}})} , ( X t 3 − X t 2 ) {displaystyle (X_{t_{3}}-X_{t_{2}})} , … {displaystyle ldots } , ( X t n − X t n − 1 ) {displaystyle (X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})} независимы в совокупности.
  • Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
  • Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.
  • Ветвящийся случайный процесс может описывать явления, связанные с размножением, делением или превращениями объектов.

Примеры

  • { X n } n ∈ N {displaystyle {X_{n}}_{nin mathbb {N} }} , где X i ∼ N ( 0 , 1 ) {displaystyle ;X_{i}sim mathrm {N} (0,1)} называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
  • Пусть f : R → R {displaystyle fcolon mathbb {R} o mathbb {R} } , и Y {displaystyle Y} — случайная величина. Тогда
X t ( ω ) = f ( t ) ⋅ Y ( ω ) {displaystyle X_{t}(omega )=f(t)cdot Y(omega )}

является случайным процессом.


  • Квантили распределения Стьюдента
  • Вторая гипотеза Харди — Литлвуда
  • Теорема Бохнера — Хинчина
  • Уравнение переноса
  • Дважды стохастическая матрица

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования