Характеристический класс

Характеристический класс — когомологический класс, сопоставляемый главному расслоению на топологическом пространстве.

История

Понятие характеристического класса появляется в 1935 в работaх Штифеля и Уитни о векторных полях на многообразиях.

Определение

Характеристический класс сопоставляет главному G {displaystyle G} -расслоению p : P → X {displaystyle p:P o X} элемент c p ∈ H ∗ ( X ) {displaystyle c_{p}in H^{*}(X)} в когомологиях такой, что, если f : Y → X {displaystyle f:Y o X} непрерывное отображение, и q : Q → Y {displaystyle q:Q o Y} индуцированное расслоение, то

c q = f ∗ ( c p ) , {displaystyle c_{q}=f^{*}(c_{p}),}

где f ∗ : H ∗ ( X ) → H ∗ ( Y ) {displaystyle f^{*}:H^{*}(X) o H^{*}(Y)} индуцированый гомоморфизм на когомологиях.

Связанные определения

Взяв ∪-npоизведение нескольких характеристических классов и подставив в него фундаментальный класс многообразия, можно получить инвариант главного расслоения, называемый характеристическим числом.

Примеры

• Класс Понтрягина
• Класс Штифеля — Уитни

Свойства

• Два многообразия бордантны тогда и только тогда, когда все их числа Штифеля — Уитни совпадают.
  • Для ориентированного бордизма требуется дополнительно совпадение всех чисел Понтрягина.