Сигнатура (линейная алгебра)

8-04-2021, 04:02

Сигнатура — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы.

Определение

Каждая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к каноническому виду

x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − x p + 2 2 − ⋯ − x p + q 2 . {displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-x_{p+2}^{2}-cdots -x_{p+q}^{2}.}

Разность p − q {displaystyle p-q} между числом положительных и отрицательных членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Числа p и q сигнатуры не зависят от способов приведения формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Сигнатуру квадратичной формы также записывают в виде пары чисел ( p , q ) {displaystyle (p,q)} или в виде ( + ⋯ + − ⋯ − ) {displaystyle (+cdots +-cdots -)} с соответствующим числом плюсов и минусов.

Пример

Квадратичная форма от двух переменных x 1 x 2 {displaystyle x_{1}x_{2}} может быть приведена к каноническому виду x ~ 1 2 − x ~ 2 2 , {displaystyle { ilde {x}}_{1}^{2}-{ ilde {x}}_{2}^{2},} например, с помощью линейной замены переменных x 1 = x ~ 1 + x ~ 2 , {displaystyle x_{1}={ ilde {x}}_{1}+{ ilde {x}}_{2},} x 2 = x ~ 1 − x ~ 2 . {displaystyle x_{2}={ ilde {x}}_{1}-{ ilde {x}}_{2}.} Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде ( 1 , 1 ) {displaystyle (1,1)} или в виде ( + − ) . {displaystyle (+-).}


  • Матрица Адамара
  • Квантили распределения Стьюдента
  • Геометрическая прогрессия
  • Смешанное произведение
  • Число Коксетера

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования