Теорема унитарности

Теорема унитарности — утверждение о свойствах представлений конечных групп. Играет важную роль при применении методов теории групп в физике.

Формулировка

Для всякого представления T {displaystyle T} конечной группы G {displaystyle G} , определённого в конечномерном пространстве L {displaystyle L} , можно определить скалярное произведение для любых векторов x , y ∈ L {displaystyle x,yin L} в этом пространстве ( x , y ) {displaystyle (x,y)} таким образом, чтобы все операторы T ( g ) , g ∈ G {displaystyle T(g),gin G} были унитарными, то есть чтобы для всех x , y ∈ L , g ∈ G {displaystyle x,yin L,gin G} выполнялось равенство: ( T ( g ) x , T ( g ) y ) = ( x , y ) {displaystyle (T(g)x,T(g)y)=(x,y)} .

Доказательство

Определим в пространстве L {displaystyle L} новое скалярное произведение: ( x , y ) 0 = 1 N ∑ h ∈ G ( T ( h ) x , T ( h ) y ) {displaystyle (x,y)_{0}={frac {1}{N}}sum _{hin G}(T(h)x,T(h)y)} . Здесь N {displaystyle N} - число элементов конечной группы G {displaystyle G} . Покажем, что все операторы T ( g ) , g ∈ G {displaystyle T(g),gin G} унитарны относительно этого скалярного произведения: ( T ( g ) x , T ( g ) y ) 0 = ( x , y ) 0 {displaystyle (T(g)x,T(g)y)_{0}=(x,y)_{0}} . Имеем: ( T ( g ) x , T ( g ) y ) 0 = 1 N ∑ h ∈ G ( T ( h ) T ( g ) x , T ( h ) T ( g ) y ) = 1 N ∑ h ∈ G ( T ( h g ) x , T ( h g ) y ) {displaystyle (T(g)x,T(g)y)_{0}={frac {1}{N}}sum _{hin G}(T(h)T(g)x,T(h)T(g)y)={frac {1}{N}}sum _{hin G}(T(hg)x,T(hg)y)} . Когда элемент h {displaystyle h} по одному разу пробегает все элементы группы G {displaystyle G} , то произведение h g {displaystyle hg} при фиксированном g {displaystyle g} тоже пробегает по одному разу все элементы этой группы. Поэтому суммы 1 N ∑ h ∈ G ( T ( h ) x , T ( h ) y ) {displaystyle {frac {1}{N}}sum _{hin G}(T(h)x,T(h)y)} и 1 N ∑ h ∈ G ( T ( h g ) x , T ( h g ) y ) {displaystyle {frac {1}{N}}sum _{hin G}(T(hg)x,T(hg)y)} отличаются только порядком слагаемых, и, таким образом, равны друг другу. Тождество ( T ( g ) x , T ( g ) y ) 0 = ( x , y ) 0 {displaystyle (T(g)x,T(g)y)_{0}=(x,y)_{0}} доказано, следовательно, доказана теорема унитарности.

Следствия

• Если L 1 {displaystyle L_{1}} - инвариантное относительно представления T {displaystyle T} подпростанство, то ортогональное к нему подпространство L 2 ⊂ L {displaystyle L_{2}subset L} тоже инвариантно относительно представления T {displaystyle T} .
• Если τ {displaystyle au } - неприводимое представление конечной группы, то пространство L {displaystyle L} не содержит ни одного нетривиального подпространства, инвариантного относительно представления τ {displaystyle au } .