Уравнение Швингера — Томонаги

17-04-2021, 06:26

Уравнение Швингера — Томонаги, в квантовой теории поля, основное уравнение движения, обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей Ψ [ σ ] {displaystyle Psi [sigma ]} . Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:

i ℏ δ Ψ [ σ ] δ σ ( x ) = H ( x ) Ψ [ σ ] , {displaystyle ihbar {frac {delta Psi [sigma ]}{delta sigma (x)}}={mathcal {H}}(x)Psi [sigma ],}

где H ( x ) {displaystyle {mathcal {H}}(x)} — плотность гамильтониана

H ( t ) = ∫ H ( x ) d 3 x . {displaystyle H(t)=int {mathcal {H}}(x)d^{3}mathbf {x} .}

x = ( x 0 , x ) {displaystyle x=(x^{0},mathbf {x} )} — координата в пространстве Минковского R 1 , 3 {displaystyle mathbb {R} ^{1,3}} . Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:

i ℏ δ ρ [ σ ] δ σ ( x ) = [ H ( x ) , ρ [ σ ] ] . {displaystyle ihbar {frac {delta ho [sigma ]}{delta sigma (x)}}=[{mathcal {H}}(x), ho [sigma ]].}

Пространственноподобные гиперповерхности σ {displaystyle sigma } определяются трёхмерным многообразием в R 1 , 3 {displaystyle mathbb {R} ^{1,3}} , которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке x ∈ σ {displaystyle xin sigma } гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор

n μ ( x ) n μ ( x ) = 1 , {displaystyle n_{mu }(x)n^{mu }(x)=1,}

являющийся времениподобным

n 0 ( x ) ⩾ 1. {displaystyle n^{0}(x)geqslant 1.}

Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени. Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности σ {displaystyle sigma } координатами x {displaystyle mathbf {x} } трёхмерного пространства R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} , тогда точки x ∈ σ {displaystyle xin sigma } могут быть представлены в виде x = ( x 0 ( x ) , x ) {displaystyle x=(x^{0}(mathbf {x} ),mathbf {x} )} . Таким образом, каждая точка x ∈ R 3 {displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^{3}} имеет собственную переменную времени x 0 = x 0 ( x ) {displaystyle x^{0}=x^{0}(mathbf {x} )} .

Функциональная производная в уравнении Швингера — Томонаги

Рассмотрим точку x ∈ σ {displaystyle xin sigma } и варьированную гиперповерхность σ + δ σ {displaystyle sigma +delta sigma } , отличную от σ {displaystyle sigma } лишь в некоторой окрестности O x {displaystyle O_{x}} точки x {displaystyle x} . Через Ω ( x ) {displaystyle Omega (x)} обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между σ {displaystyle sigma } и σ + δ σ {displaystyle sigma +delta sigma } . Тогда функциональная производная δ δ σ ( x ) {displaystyle {frac {delta }{delta sigma (x)}}} произвольного функционала F [ σ ] {displaystyle F[sigma ]} , приставляющем собой отображение из множестве гиперповерхностей в вещественные числа, определяется следующим образом

δ F [ σ ] δ σ ( x ) = lim Ω ( x ) → 0 F [ σ + δ σ ] − F [ σ ] Ω ( x ) . {displaystyle {frac {delta F[sigma ]}{delta sigma (x)}}={underset {Omega (x) ightarrow 0}{lim }}{frac {F[sigma +delta sigma ]-F[sigma ]}{Omega (x)}}.}

Решение уравнения Швингера — Томонаги

Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено как

ρ ( σ ) = U ( σ , σ 0 ) ρ ( σ 0 ) U † ( σ , σ 0 ) , {displaystyle ho (sigma )=U(sigma ,sigma _{0}) ho (sigma _{0})U^{dagger }(sigma ,sigma _{0}),}

где U ( σ , σ 0 ) {displaystyle U(sigma ,sigma _{0})} — унитарный оператор эволюции, имеющий вид

U ( σ , σ 0 ) = T e x p [ − i ℏ ∫ σ 0 σ H ( x ) d 4 x ] , {displaystyle U(sigma ,sigma _{0})=mathrm {Texp} left[-ihbar int _{sigma _{0}}^{sigma }{mathcal {H}}(x)d^{4}x ight],}

где T e x p {displaystyle mathrm {Texp} } — упорядоченная по времени экспонента. ρ ( σ 0 ) {displaystyle ho (sigma _{0})} — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности σ 0 {displaystyle sigma _{0}} . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как

Ψ ( σ ) = U ( σ , σ 0 ) Ψ ( σ 0 ) , {displaystyle Psi (sigma )=U(sigma ,sigma _{0})Psi (sigma _{0}),}

где Ψ ( σ 0 ) {displaystyle Psi (sigma _{0})} — начальная волновая функция.

Необходимое условие интегрируемости

Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемости, требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности σ {displaystyle sigma } :

δ 2 ρ [ σ ] δ σ ( x ) δ σ ( y ) − δ 2 ρ [ σ ] δ σ ( y ) δ σ ( x ) = 0 , ∀ x , y ∈ σ . {displaystyle {frac {delta ^{2} ho [sigma ]}{delta sigma (x)delta sigma (y)}}-{frac {delta ^{2} ho [sigma ]}{delta sigma (y)delta sigma (x)}}=0,qquad forall x,yin sigma .}

Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана H ( x ) {displaystyle {mathcal {H}}(x)} . Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов

[ H ( x ) , H ( y ) ] = 0 , ( x − y ) 2 < 0. {displaystyle [{mathcal {H}}(x),{mathcal {H}}(y)]=0,qquad (x-y)^{2}<0.}

Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:

δ 2 ρ [ σ ] δ σ ( x ) δ σ ( y ) − δ 2 ρ [ σ ] δ σ ( y ) δ σ ( x ) = [ [ H ( x ) , H ( y ) ] , ρ [ σ ] ] = 0 , ∀ x , y ∈ σ . {displaystyle {frac {delta ^{2} ho [sigma ]}{delta sigma (x)delta sigma (y)}}-{frac {delta ^{2} ho [sigma ]}{delta sigma (y)delta sigma (x)}}=[[{mathcal {H}}(x),{mathcal {H}}(y)], ho [sigma ]]=0,qquad forall x,yin sigma .}

Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.

Расслоение пространства-времени и уравнение Шрёдингера

Расслоение пространства R 1 , 3 {displaystyle mathbb {R} ^{1,3}} определяется гладким однопараметрическим семейством

F = { σ ( τ ) } {displaystyle {mathcal {F}}={sigma ( au )}}

состоящим из пространноподобных гиперповерхностей σ ( τ ) {displaystyle sigma ( au )} с тем свойством, что каждая точка x ∈ R 1 , 3 {displaystyle xin mathbb {R} ^{1,3}} принадлежит одной и только одной гиперповерхности σ ( τ ) {displaystyle sigma ( au )} :

∀ x ∈ R 1 , 3 ∃ ! τ ∈ R : x ∈ σ ( τ ) . {displaystyle forall xin mathbb {R} ^{1,3};exists ! au in mathbb {R} :xin sigma ( au ).}

Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке x {displaystyle x} как σ x {displaystyle sigma _{x}} . Фиксированное расслоение F {displaystyle {mathcal {F}}} порождает семейство векторов-состояний

| Ψ ( τ ) ⟩ = Ψ ( σ ( τ ) ) . {displaystyle |Psi ( au ) angle =Psi (sigma ( au )).}

Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме

| Ψ ( τ ) ⟩ = | Ψ ( 0 ) ⟩ − i ℏ ∫ σ 0 σ ( τ ) H ( x ) Ψ ( σ x ) d 4 x . {displaystyle |Psi ( au ) angle =|Psi (0) angle -ihbar int _{sigma _{0}}^{sigma ( au )}{mathcal {H}}(x)Psi (sigma _{x})d^{4}x.}

Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью σ 0 = σ ( 0 ) {displaystyle sigma _{0}=sigma (0)} и гиперповерхностью σ ( τ ) {displaystyle sigma ( au )} семейства, которое всецело лежит в будущем σ 0 {displaystyle sigma _{0}} .

Пусть гиперповерхности σ ( τ ) {displaystyle sigma ( au )} могут быть определены неявным выражением

f ~ ( x , τ ) = 0 , {displaystyle { ilde {f}}(x, au )=0,}

где f ~ ( x , τ ) {displaystyle { ilde {f}}(x, au )} — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали

n μ ( x ) = 1 ∂ f ~ ( x , t ) ∂ x μ ∂ f ~ ( x , t ) ∂ x μ ∂ f ~ ( x , t ) ∂ x μ . {displaystyle n_{mu }(x)={frac {1}{sqrt {{frac {partial { ilde {f}}(x,t)}{partial x^{mu }}}{frac {partial { ilde {f}}(x,t)}{partial x_{mu }}}}}}{frac {partial { ilde {f}}(x,t)}{partial x^{mu }}}.}

Для удобство нормируем функцию f ( x , τ ) = 0 {displaystyle f(x, au )=0} определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали

n μ ( x ) = ∂ f ( x , t ) ∂ x μ . {displaystyle n_{mu }(x)={frac {partial f(x,t)}{partial x^{mu }}}.}

Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний

d d τ | Ψ ( τ ) ⟩ = − i ℏ ∫ σ ( τ ) | ∂ f ∂ τ | H ( x ) | Ψ ( τ ) ⟩ d σ ( x ) , {displaystyle {frac {d}{d au }}|Psi ( au ) angle =-{frac {i}{hbar }}int _{sigma ( au )}left|{frac {partial f}{partial au }} ight|{mathcal {H}}(x)|Psi ( au ) angle dsigma (x),}

где интегрирование выполняется по гиперповерхности σ ( τ ) ∈ F {displaystyle sigma ( au )in {mathcal {F}}} . Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом

∫ σ ( τ ) | ∂ f ∂ τ | H ( x ) d σ ( x ) = ∫ σ ( τ ) | n 0 ∂ x 0 ∂ τ | H ( x ) d σ ( x ) = H ( τ ) {displaystyle int _{sigma ( au )}left|{frac {partial f}{partial au }} ight|{mathcal {H}}(x)dsigma (x)=int _{sigma ( au )}left|n_{0}{frac {partial x_{0}}{partial au }} ight|{mathcal {H}}(x)dsigma (x)=H( au )}

уравнение движения для векторов-состояния примет вид

i ℏ d d τ | Ψ ( τ ) ⟩ = H ( τ ) | Ψ ( τ ) ⟩ . {displaystyle ihbar {frac {d}{d au }}|Psi ( au ) angle =H( au )|Psi ( au ) angle .}

Историческая справка

Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность, связанная с тем, что в формализме квантовой механики время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.

Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность σ {displaystyle sigma } .

Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.


  • Постоянная Стефана — Больцмана
  • Потенциальная температура
  • Уравнение Гейзенберга
  • Обратимая функция
  • Уравнение переноса

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования