Теорема Хартогса

Теорема Хартогса — утверждение о достаточных условиях аналитичности функции нескольких комплексных переменных. В случае нескольких комплексных переменных достаточным условием аналитичности является аналитичность по каждому переменному. Для функций действительных переменных это неверно: функция f ( x , y ) = x y ( x 2 + y 2 ) , f ( 0 , 0 ) = 0 {displaystyle f(x,y)={frac {xy}{(x^{2}+y^{2})}},f(0,0)=0} бесконечно дифференцируема по x {displaystyle x} (или y {displaystyle y} ) когда y {displaystyle y} (или x {displaystyle x} ) является фиксированным, но f {displaystyle f} даже не является непрерывной в начале координат.

Формулировка

Если комплекснозначная функция F {displaystyle F} определена в открытом множестве Ω {displaystyle Omega } n {displaystyle n} -мерного комплексного пространства C n {displaystyle mathbb {C} ^{n}} и аналитическая по каждому переменному z j {displaystyle z_{j}} , когда другие переменные фиксированы, то функция F {displaystyle F} является аналитической в Ω {displaystyle Omega } .

История

При дополнительном предположении непрерывности, это утверждение иногда называется леммой Осгуда, её доказал Вильям Осгуд