Координаты Леметра


Координаты Леметра — координаты в пространстве-времени Шварцшильда, впервые полученные Жоржем Леметром в 1933 году при помощи преобразования координат. В этих координатах была впервые устранена координатная сингулярность на гравитационном радиусе.

Метрика Леметра

Метрика Шварцшильда в системе c = G = 1 {displaystyle c=G=1} дана выражением:

d s 2 = ( 1 − r g r ) d t 2 − d r 2 1 − r g r − r 2 ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2 ) , {displaystyle ds^{2}=left(1-{frac {r_{g}}{r}} ight),dt^{2}-{frac {dr^{2}}{1-{dfrac {r_{g}}{r}}}}-r^{2}(d heta ^{2}+sin ^{2} heta ,dvarphi ^{2}),}

где d s 2 {displaystyle ds^{2}} — интервал;

  • r g = 2 M {displaystyle r_{g}=2M} — гравитационный радиус;
  • M {displaystyle M} — масса центрального тела;
  • t , r , θ , φ {displaystyle t,;r,; heta ,;varphi } — координаты Шварцшильда, асимптотически превращающиеся в плоские сферические координаты;
  • c {displaystyle c} — скорость света;
  • G {displaystyle G} — гравитационная постоянная.

В метрике Шварцшильда присутствует сингулярность на гравитационном радиусе при r = r g {displaystyle r=r_{g}} .

Жорж Леметр первым указал, что эта сингулярность не является физической, а является следствием того, что стационарные координаты Шварцшильда невозможно реализовать с помощью физических тел под гравитационным радиусом. Действительно, под гравитационным радиусом все тела, включая лучи света, падают по направлению к центру и никакими силами невозможно удержать физическое тело на постоянном радиусе.

Преобразование от координат Шварцшильда { t , r } {displaystyle {t,;r}} к новым координатам Леметра { τ , ρ } {displaystyle { au ,; ho }} :

{ d τ = d t + r g r 1 1 − r g r d r ; d ρ = d t + r r g 1 1 − r g r d r {displaystyle {egin{cases}d au =dt+{sqrt {dfrac {r_{g}}{r}}}{dfrac {1}{1-{dfrac {r_{g}}{r}}}},dr;d ho =dt+{sqrt {dfrac {r}{r_{g}}}}{dfrac {1}{1-{dfrac {r_{g}}{r}}}},drend{cases}}}

приводит к метрике Леметра:

d s 2 = d τ 2 − r g r d ρ 2 − r 2 ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2 ) , {displaystyle ds^{2}=d au ^{2}-{frac {r_{g}}{r}},d ho ^{2}-r^{2}(d heta ^{2}+sin ^{2} heta ,dvarphi ^{2}),}

где

r = [ 3 2 ( ρ − τ ) ] 2 / 3 r g 1 / 3 . {displaystyle r=left[{frac {3}{2}}( ho - au ) ight]^{2/3}r_{g}^{1/3}.}

В координатах Леметра сингулярность на гравитационном радиусе, где 3 2 ( ρ − τ ) = r g {displaystyle {frac {3}{2}}( ho - au )=r_{g}} , отсутствует. Истинная же сингулярность в центре, ρ − τ = 0 {displaystyle ho - au =0} , сохраняется.

Метрика Леметра является синхронной — тела, неподвижные в координатах Леметра, находятся в состоянии свободного падения в гравитационном поле центрального тела. Вертикально падающие тела достигают гравитационного радиуса и центра за конечное собственное время.

Вдоль траектории луча света

d r = ( ± 1 − r g r ) d τ , {displaystyle dr=left(pm 1-{sqrt {frac {r_{g}}{r}}} ight),d au ,}

поэтому никакой сигнал не может выйти за пределы гравитационного радиуса, где всегда d r < 0 {displaystyle dr<0} , и лучи света, испущенные вертикально вверх и вниз, оба оказываются в центре.


  • Метод Феррари
  • Числа Леонардо
  • Сигнатура (линейная алгебра)
  • Геометрическая прогрессия
  • Смешанное произведение

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования