Полуцелое число

Полуцелое число — число из ряда

… , − 1 1 2 , − 1 2 , 1 2 , 1 1 2 , 2 1 2 , … {displaystyle dots ,-1{ frac {1}{2}},-{ frac {1}{2}},{ frac {1}{2}},1{ frac {1}{2}},2{ frac {1}{2}},dots }

То есть число вида n + 1 / 2 {displaystyle n+1/2} , где n {displaystyle n} — целое, или вида k 2 {displaystyle {frac {k}{2}}} , где k {displaystyle k} — целое. Иначе говоря, это рациональное число с дробной частью 1 / 2 {displaystyle 1/2} . При этом чётность полуцелого числа та же, что и у k {displaystyle k} .

Множество полуцелых чисел обычно обозначается Z + 1 2 {displaystyle mathbb {Z} +{ frac {1}{2}}} , здесь Z {displaystyle mathbb {Z} } обозначает кольцо целых чисел.

Полуцелые числа применяются в квантовой физике (в частности, значения спина фермионов — полуцелые числа).

Свойства

• Среднее арифметическое двух целых чисел разной чётности всегда является полуцелым числом, а двух чисел одинаковой чётности — целым.
• Объединение множеств целых и полуцелых чисел образует аддитивную группу 1 2 Z {displaystyle { frac {1}{2}}mathbb {Z} } , эта группа не является кольцом (так как произведение двух полуцелых в общем случае не даёт целое или полуцелое число).
• Полуцелые являются подклассом двоично-рациональных чисел, то есть рациональных чисел, представимых в виде частного произвольного целого и двойки в целой степени.
• Гамма-функция целого и полуцелого аргумента может быть выражена через элементарные функции, для других классов чисел подобных представлений пока не найдено.