Формулы аналогии Непера

Формулы аналогии Непера в сферической тригонометрии выражают соотношения между пятью элементами сферического треугольника, удобные для решения косоугольного сферического треугольника по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне.

Описание

Формулы аналогии Непера имеют следующий вид:

tg ⁡ α + β 2 = cos ⁡ a − b 2 cos ⁡ a + b 2 ⋅ ctg ⁡ γ 2 {displaystyle operatorname {tg} {frac {alpha +eta }{2}}={frac {cos {frac {a-b}{2}}}{cos {frac {a+b}{2}}}}cdot operatorname {ctg} {frac {gamma }{2}}} tg ⁡ α − β 2 = sin ⁡ a − b 2 sin ⁡ a + b 2 ⋅ ctg ⁡ γ 2 {displaystyle operatorname {tg} {frac {alpha -eta }{2}}={frac {sin {frac {a-b}{2}}}{sin {frac {a+b}{2}}}}cdot operatorname {ctg} {frac {gamma }{2}}} tg ⁡ a + b 2 = cos ⁡ α − β 2 cos ⁡ α + β 2 ⋅ tg ⁡ c 2 {displaystyle operatorname {tg} {frac {a+b}{2}}={frac {cos {frac {alpha -eta }{2}}}{cos {frac {alpha +eta }{2}}}}cdot operatorname {tg} {frac {c}{2}}} tg ⁡ a − b 2 = sin ⁡ α − β 2 sin ⁡ α + β 2 ⋅ tg ⁡ c 2 {displaystyle operatorname {tg} {frac {a-b}{2}}={frac {sin {frac {alpha -eta }{2}}}{sin {frac {alpha +eta }{2}}}}cdot operatorname {tg} {frac {c}{2}}}

Эти формулы считаются более удобными для решения косоугольных сферических треугольников по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне, чем формулы Деламбра. Хотя каждая из них выводится простым делением правой и левой частей одной формулы Деламбра на соответствующие части другой.

При решении косоугольного сферического треугольника по двум сторонам и углу между ними из первой и второй формул получают углы α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } , а затем сторону c {displaystyle c} находят из третьей или четвёртой формулы. При решении косоугольного сферического треугольника по двум углам и прилежащей к ним стороне из третьей и четвертой формул получают стороны a {displaystyle a} и b {displaystyle b} , а затем угол γ {displaystyle gamma } находят из первой или второй формулы.