Индуцированная топология


Индуцированная тополόгия — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Определение

Пусть дано топологическое пространство ( X , T ) {displaystyle (X,;{mathcal {T}})} , где X {displaystyle X} — произвольное множество, а T {displaystyle {mathcal {T}}} — определённая на X {displaystyle X} топология. Пусть также Y ⊂ X {displaystyle Ysubset X} . Определим T Y {displaystyle {mathcal {T}}_{Y}} — семейство подмножеств Y {displaystyle Y} следующим образом:

T Y = { U ∩ Y ∣ U ∈ T } . {displaystyle {mathcal {T}}_{Y}={Ucap Ymid Uin {mathcal {T}}}.}

Несложно проверить, что T Y {displaystyle {mathcal {T}}_{Y}} является топологией на Y {displaystyle Y} . Эта топология называется индуцированной топологией T {displaystyle {mathcal {T}}} . Топологическое пространство ( Y , T Y ) {displaystyle (Y,;{mathcal {T}}_{Y})} называется подпространством ( X , T ) {displaystyle (X,;{mathcal {T}})} .

Эту конструкцию можно обобщить. Пусть X {displaystyle X} – произвольное множество, ( Y , T Y ) {displaystyle (Y,;{mathcal {T}}_{Y})} – топологическое пространство и f : X → Y {displaystyle f:X o Y} – произвольное отображение X {displaystyle X} в Y {displaystyle Y} . Тогда в качестве T X {displaystyle {mathcal {T}}_{X}} возьмем всевозможные множества вида f − 1 {displaystyle f^{-1}} ( V {displaystyle V} ), где V {displaystyle V} – открытые множества в Y {displaystyle Y} . Топология T X {displaystyle {mathcal {T}}_{X}} называется индуцированной отображением f {displaystyle f} топологией. Она хороша тем, что отображение f {displaystyle f} в этой топологии автоматически становится непрерывным. Это самая слабая (она содержит меньше всего множеств) из всех возможных топологий пространства X {displaystyle X} , для которых отображение f {displaystyle f} будет непрерывным.

Пример

Пусть дана вещественная прямая R {displaystyle mathbb {R} } со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел N ⊂ R {displaystyle mathbb {N} subset mathbb {R} } , является дискретной.


  • H-пространство
  • Закон нуля или единицы
  • Хаусдорфово пространство
  • Хеммингова сфера
  • Константа Шешадри

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования