Ретракция Шарафутдинова

Ретракция Шарафутдинова — конструкция, позволяющая построить ретракцию риманова многообразия по выпуклой функции на нём.

Впервые использована в 1979 году Шарафутдиновым в доказательстве того, что любые две души в многообразии с неотрицательной секционной кривизной изометричны.

Конструкция

Пусть M {displaystyle M} — связное риманово многообразие, f : M → R {displaystyle f:M o mathbb {R} } — выпуклая функция и s = max { f ( x ) ∣ x ∈ M } {displaystyle s=max{,f(x)mid xin M,}} . Для t ≤ s {displaystyle tleq s} обозначим через M t {displaystyle M_{t}} множество { x ∈ M ∣ f ( x ) ≤ t } {displaystyle {,xin Mmid f(x)leq t}} . Ретракция Шарафутдинова — это семейство отображений Φ t : M → M t {displaystyle Phi _{t}:M o M_{t}} , которое является тождественным на M t {displaystyle M_{t}} такое, что если f ( x ) < t {displaystyle f(x)<t} то Φ t ( x ) {displaystyle Phi _{t}(x)} лежит на градиентной кривой из x {displaystyle x} функции f {displaystyle f} и при этом f ( Φ t ( x ) ) = t {displaystyle f(Phi _{t}(x))=t} .

Свойства

• Отображения Φ t : M → M t {displaystyle Phi _{t}:M o M_{t}} являются короткими.
• Если t ≥ τ {displaystyle tgeq au } то Φ t ∘ Φ τ = Φ t {displaystyle Phi _{t}circ Phi _{ au }=Phi _{t}} .