Континуанта

29-04-2021, 04:05

Континуанта — многочлен от нескольких переменных определённого типа. Известны тождества, связывающие континуанту с цепными дробями.

Определения

Рекурентное

Континуанта индекса n есть многочлен K n ( x 1 , … , x n ) {displaystyle K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})} , определяемый рекуррентным соотношением:

K − 1 = 0 , K 0 = 1 , {displaystyle K_{-1}=0,qquad K_{0}=1,} K n ( x 1 , … , x n ) = x n K n − 1 ( x 1 , … , x n − 1 ) + K n − 2 ( x 1 , … , x n − 2 ) . {displaystyle K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},;ldots ,;x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},;ldots ,;x_{n-2}).}

Через определитель

Континуанта может быть также определена как определитель трёхдиагональной матрицы

K n ( x 1 , x 2 , … , x n ) = det ( x 1 1 0 ⋯ 0 − 1 x 2 1 ⋱ ⋮ 0 − 1 ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 1 0 ⋯ 0 − 1 x n ) . {displaystyle K_{n}(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{n})=det {egin{pmatrix}x_{1}&1&0&cdots &0-1&x_{2}&1&ddots &vdots &-1&ddots &ddots &0vdots &ddots &ddots &ddots &1&cdots &0&-1&x_{n}end{pmatrix}}.}

Свойства

  • Континуанта K n ( x 1 , … , x n ) {displaystyle K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})} есть сумма всех одночленов, получаемых из одночлена x 1 ⋅ … ⋅ x n {displaystyle x_{1}cdot ldots cdot x_{n}} вычеркиванием всевозможных непересекающих пар соседних переменных (правило Эйлера).
    • Пример: K 5 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 + x 3 x 4 x 5 + x 1 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 5 + x 1 x 2 x 3 + x 1 + x 3 + x 5 . {displaystyle K_{5}(x_{1},;x_{2},;x_{3},;x_{4},;x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5};+;x_{3}x_{4}x_{5};+;x_{1}x_{4}x_{5};+;x_{1}x_{2}x_{5};+;x_{1}x_{2}x_{3};+;x_{1};+;x_{3};+;x_{5}.}
    • Следствие: Континуанты обладают зеркальной симметрией: K n ( x 1 , … , x n ) = K n ( x n , … , x 1 ) . {displaystyle K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})=K_{n}(x_{n},;ldots ,;x_{1}).}
  • K n ( 1 , … , 1 ) = F n + 1 {displaystyle K_{n}(1,;ldots ,;1)=F_{n+1}} — число Фибоначчи.
  • Справедливо тождество: K n ( x 1 , … , x n ) K n − 1 ( x 2 , … , x n ) = x 1 + K n − 2 ( x 3 , … , x n ) K n − 1 ( x 2 , … , x n ) {displaystyle {frac {K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})}}=x_{1}+{frac {K_{n-2}(x_{3},;ldots ,;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})}}}
  • В поле рациональных дробей K n ( x 1 , … , x n ) K n − 1 ( x 2 , … , x n ) = [ x 1 ; x 2 , … , x n ] = x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 + … {displaystyle {frac {K_{n}(x_{1},;ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})}}=[x_{1};;x_{2},;ldots ,;x_{n}]=x_{1}+{frac {1}{displaystyle {x_{2}+{frac {1}{x_{3}+ldots }}}}}} — цепная дробь.
  • Справедливо матричное соотношение: ( K n ( x 1 , … , x n ) K n − 1 ( x 1 , … , x n − 1 ) K n − 1 ( x 2 , … , x n ) K n − 2 ( x 2 , … , x n − 1 ) ) = ( x 1 1 1 0 ) × … × ( x n 1 1 0 ) {displaystyle {egin{pmatrix}K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})&K_{n-1}(x_{1},;ldots ,;x_{n-1})K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})&K_{n-2}(x_{2},;ldots ,;x_{n-1})end{pmatrix}}={egin{pmatrix}x_{1}&11&0end{pmatrix}} imes ldots imes {egin{pmatrix}x_{n}&11&0end{pmatrix}}} .
    • Откуда для определителей получается тождество: K n ( x 1 , … , x n ) ⋅ K n − 2 ( x 2 , … , x n − 1 ) − K n − 1 ( x 1 , … , x n − 1 ) ⋅ K n − 1 ( x 2 , … , x n ) = ( − 1 ) n . {displaystyle K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})cdot K_{n-2}(x_{2},;ldots ,;x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},;ldots ,;x_{n-1})cdot K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})=(-1)^{n}.}
    • А также: K n − 1 ( x 2 , … , x n ) ⋅ K n + 2 ( x 1 , … , x n + 2 ) − K n ( x 1 , … , x n ) ⋅ K n + 1 ( x 2 , … , x n + 2 ) = ( − 1 ) n + 1 x n + 2 . {displaystyle K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})cdot K_{n+2}(x_{1},;ldots ,;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})cdot K_{n+1}(x_{2},;ldots ,;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.}

  • Кусочно-линейная функция
  • Теорема Хартогса
  • Артинов модуль
  • Геометрическая прогрессия
  • Дважды стохастическая матрица

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования