Система корней
Система корней (корневая система) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.
Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина использующиеся при классификации систем корней встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.
Определение
Пусть V {displaystyle V} — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением обозначаемым как ( ⋅ , ⋅ ) {displaystyle (cdot ,;cdot )} . Система корней в V {displaystyle V} — это конечное множество Φ {displaystyle Phi } ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.
Замечания
- С учётом свойства 3, целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между β {displaystyle eta } и его отражением σ α ( β ) {displaystyle sigma _{alpha }(eta )} равна корню α , {displaystyle alpha ,} умноженному на некоторое целое число.
- Оператор ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : Φ × Φ → Z , {displaystyle langle cdot ,;cdot angle colon Phi imes Phi o mathbb {Z} ,}
Размерность V {displaystyle V} называют рангом системы корней.
Классификация систем корней по схемам Дынкина
Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2
Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов { α , − α } . {displaystyle {alpha ,;-alpha }.} Эта система называется A 1 . {displaystyle A_{1}.}
В ранге 2 существуют четыре возможных варианта σ α ( β ) = β + n α , {displaystyle sigma _{alpha }(eta )=eta +nalpha ,} где n = 0 , 1 , 2 , 3. {displaystyle n=0,;1,;2,;3.}