Циркулянт

30-04-2021, 08:54

Циркулянт — это матрица вида

C = ( a 1 a 2 ⋯ a n a n a 1 ⋯ a n − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 2 a 3 ⋯ a 1 ) {displaystyle C={egin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&cdots &a_{n}a_{n}&a_{1}&cdots &a_{n-1}vdots &vdots &ddots &vdots a_{2}&a_{3}&cdots &a_{1}end{pmatrix}}}

Циркулянт можно также кратко описать как ( a j − i + 1 ) i , j = 1 n {displaystyle (a_{j-i+1})_{i,;j=1}^{n}} , где индексы вычисляются по модулю n {displaystyle n} .

Определитель

Обозначим ζ {displaystyle zeta } — первообразный корень из единицы степени n {displaystyle n} . Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта C {displaystyle C} :

det ⁡ C = ∏ k = 0 n − 1 ( a 1 + a 2 ζ k + … + a n − 1 ζ k ( n − 2 ) + a n ζ k ( n − 1 ) ) {displaystyle operatorname {det} C=prod limits _{k=0}^{n-1}(a_{1}+a_{2}zeta ^{k}+ldots +a_{n-1}zeta ^{k(n-2)}+a_{n}zeta ^{k(n-1)})} Доказательство

Обозначим f ( x ) = a 1 + a 2 x + … + a n x n − 1 {displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}x+ldots +a_{n}x^{n-1}} и ζ k = ζ k {displaystyle zeta _{k}=zeta ^{k}} . Умножим циркулянт справа на определитель Вандермонда вида | ζ j i − 1 | n × n {displaystyle |zeta _{j}^{i-1}|_{n imes n}} :

| a 1 a 2 ⋯ a n a n a 1 ⋯ a n − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 2 a 3 ⋯ a 1 | ⋅ | 1 1 ⋯ 1 ζ 1 ζ 2 ⋯ ζ n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ζ 1 n − 1 ζ 2 n − 1 ⋯ ζ n n − 1 | = | f ( ζ 1 ) f ( ζ 2 ) ⋯ f ( ζ n ) ζ 1 f ( ζ 1 ) ζ 2 f ( ζ 2 ) ⋯ ζ n f ( ζ n ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ζ 1 n − 1 f ( ζ 1 ) ζ 2 n − 1 f ( ζ 2 ) ⋯ ζ n n − 1 f ( ζ n ) | = {displaystyle {egin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&cdots &a_{n}a_{n}&a_{1}&cdots &a_{n-1}vdots &vdots &ddots &vdots a_{2}&a_{3}&cdots &a_{1}end{vmatrix}}cdot {egin{vmatrix}1&1&cdots &1zeta _{1}&zeta _{2}&cdots &zeta _{n}vdots &vdots &ddots &vdots zeta _{1}^{n-1}&zeta _{2}^{n-1}&cdots &zeta _{n}^{n-1}end{vmatrix}}={egin{vmatrix}f(zeta _{1})&f(zeta _{2})&cdots &f(zeta _{n})zeta _{1}f(zeta _{1})&zeta _{2}f(zeta _{2})&cdots &zeta _{n}f(zeta _{n})vdots &vdots &ddots &vdots zeta _{1}^{n-1}f(zeta _{1})&zeta _{2}^{n-1}f(zeta _{2})&cdots &zeta _{n}^{n-1}f(zeta _{n})end{vmatrix}}=}

= f ( ζ 1 ) f ( ζ 2 ) … f ( ζ n ) ⋅ | 1 1 ⋯ 1 ζ 1 ζ 2 ⋯ ζ n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ζ 1 n − 1 ζ 2 n − 1 ⋯ ζ n n − 1 | {displaystyle =f(zeta _{1})f(zeta _{2})ldots f(zeta _{n})cdot {egin{vmatrix}1&1&cdots &1zeta _{1}&zeta _{2}&cdots &zeta _{n}vdots &vdots &ddots &vdots zeta _{1}^{n-1}&zeta _{2}^{n-1}&cdots &zeta _{n}^{n-1}end{vmatrix}}}

Далее сокращаем определитель Вандермонда как ненулевой.■


Примеры

Для n = 2 {displaystyle n=2} определитель циркулянта равен:

det ⁡ ( a 1 a 2 a 2 a 1 ) = ( a 1 − a 2 ) ( a 1 + a 2 ) . {displaystyle operatorname {det} {egin{pmatrix}a_{1}&a_{2}a_{2}&a_{1}end{pmatrix}}=(a_{1}-a_{2})(a_{1}+a_{2}).}

Для n = 3 , ω 3 = 1 , ω ≠ 1 {displaystyle n=3,omega ^{3}=1,omega eq 1} :

det ⁡ ( a 1 a 2 a 3 a 3 a 1 a 2 a 2 a 3 a 1 ) = ( a 1 + a 2 + a 3 ) ( a 1 + a 2 ω + a 3 ω 2 ) ( a 1 + a 2 ω 2 + a 3 ω ) . {displaystyle operatorname {det} {egin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}a_{3}&a_{1}&a_{2}a_{2}&a_{3}&a_{1}end{pmatrix}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}omega +a_{3}omega ^{2})(a_{1}+a_{2}omega ^{2}+a_{3}omega ).}

Антициркулянт

Антициркулянт — это матрица аналогичного вида:

( a 1 a 2 ⋯ a n a 2 a 3 ⋯ a 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n a 1 ⋯ a n − 1 ) {displaystyle {egin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&cdots &a_{n}a_{2}&a_{3}&cdots &a_{1}vdots &vdots &ddots &vdots a_{n}&a_{1}&cdots &a_{n-1}end{pmatrix}}}

Антициркулянт перестановками строк приводится к циркулянту.

Замечание

То есть циркулянт (антициркулянт) — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого), получается циклической алфавитной (для антициркулянта циклической антиалфавитной) перестановкой элементов предыдущей строки (столбца).


  • Приведённые гомологии
  • Персимметричная матрица
  • Нелинейная задача собственных значений
  • Сигнатура (линейная алгебра)
  • Дважды стохастическая матрица

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования