D с чертой-преобразование

30-04-2021, 23:16

D с чертой-преобразование — интегральное преобразование, связанное с непрерывным и дискретным преобразованиями Лапласа. Прямое D с чертой-преобразование ставит в соответствие изображению непрерывной функции изображение соответствующей ей дискретной функции. Оно широко применяется в разделах теории управления, связанных c дискретными системами.

Определение

Пусть X T ( p ) {displaystyle X_{T}(p)} — изображение по Лапласу некоторой непрерывной функции x T ( t ) {displaystyle x_{T}(t)} , а X ∗ ( q , ε ) {displaystyle X^{*}(q,varepsilon )} — изображение соответствующей дискретной функции x [ n , ε ] = x T ( ( n + ε ) T ) {displaystyle x[n,varepsilon ]=x_{T}((n+varepsilon )T)} , где T — период дискретизации, n ∈ N ∪ { 0 } {displaystyle nin mathbb {N} cup {0}} .

Введем функцию X ( q ) = 1 T X T ( q T ) {displaystyle X(q)={frac {1}{T}}X_{T}left({frac {q}{T}} ight)} . Тогда

X ∗ ( q , ε ) = D ¯ { X ( q ) } = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ X ( η ) e q e q − e η e ε η d η ,   R e q > c {displaystyle X^{*}(q,varepsilon )={overline {mathcal {D}}}{X(q)}={frac {1}{2pi j}}int limits _{c-jinfty }^{c+jinfty }X(eta ){frac {e^{q}}{e^{q}-e^{eta }}}e^{varepsilon eta }deta ,~mathrm {Re} ,q>c}

Можно показать, что

X ∗ ( q , ε ) = ∑ k = 1 l R e s η = η k e q e ε η e q − e η X ( η ) , {displaystyle X^{*}(q,varepsilon )=sum _{k=1}^{l}{underset {eta =eta _{k}}{mathrm {Res} }}{frac {e^{q}e^{varepsilon eta }}{e^{q}-e^{eta }}}X(eta ),}

причем вычеты берутся по всем полюсам функции X ( q ) {displaystyle X(q)} , и что

X ∗ ( q , ε ) = ∑ r = − ∞ + ∞ e ε ( q + 2 π j r ) X ( q + 2 π j r ) {displaystyle X^{*}(q,varepsilon )=sum _{r=-infty }^{+infty }e^{varepsilon (q+2pi jr)}X(q+2pi jr)}

Формула для обратного D с чертой-преобразования:

X ( q ) = D ¯ − 1 { X ∗ ( q , ε ) } = ∫ 0 1 e − q ε X ∗ ( q , ε ) d ε {displaystyle X(q)={overline {mathcal {D}}}^{-1}{X^{*}(q,varepsilon )}=int limits _{0}^{1}e^{-qvarepsilon }X^{*}(q,varepsilon )dvarepsilon }

Свойства

  • Линейность: D ¯ { ∑ i = 1 n α i X i ( q ) } = ∑ i = 1 n α i D ¯ { X i ( q ) } {displaystyle {overline {mathcal {D}}}left{sum _{i=1}^{n}alpha _{i}X_{i}(q) ight}=sum _{i=1}^{n}alpha _{i}{overline {mathcal {D}}}{X_{i}(q)}}
  • Умножение на e k q ,   k ∈ Z {displaystyle e^{kq},~kin mathbb {Z} } : D ¯ { e k q X ( q ) } = e k q D ¯ { X ( q ) } {displaystyle {overline {mathcal {D}}}{e^{kq}X(q)}=e^{kq}{overline {mathcal {D}}}{X(q)}}
  • Умножение на e − γ q ,   0 < γ < 1 {displaystyle e^{-gamma q},~0<gamma <1} : D ¯ { e − γ q X ( q ) } = { e − q X ∗ ( q , 1 + ε − γ ) , 0 ⩽ ε < γ , X ∗ ( q , ε − γ ) , γ ⩽ ε < 1 {displaystyle {overline {mathcal {D}}}{e^{-gamma q}X(q)}={egin{cases}e^{-q}X^{*}(q,1+varepsilon -gamma ),&0leqslant varepsilon <gamma ,X^{*}(q,varepsilon -gamma ),&gamma leqslant varepsilon <1end{cases}}}
  • Смещение q на ±λ: D ¯ { X ( q ± λ ) } = e ∓ λ ε X ∗ ( q ± λ , ε ) {displaystyle {overline {mathcal {D}}}{X(qpm lambda )}=e^{mp lambda varepsilon }X^{*}(qpm lambda ,varepsilon )}
  • Умножение на q: D ¯ { q X ( q ) } = ∂ ∂ ε D ¯ { X ( q ) } {displaystyle {overline {mathcal {D}}}{qX(q)}={frac {partial }{partial varepsilon }}{overline {mathcal {D}}}{X(q)}}
  • Деление на q: D ¯ { X ( q ) q } = ∫ 0 ε D ¯ { X ( q ) } d ε + 1 e q − 1 ∫ 0 1 D ¯ { X ( q ) } d ε {displaystyle {overline {mathcal {D}}}left{{frac {X(q)}{q}} ight}=int limits _{0}^{varepsilon }{overline {mathcal {D}}}{X(q)}dvarepsilon +{frac {1}{e^{q}-1}}int limits _{0}^{1}{overline {mathcal {D}}}{X(q)}dvarepsilon }
  • Дифференцирование по q: D ¯ { d d q X ( q ) } = ∂ ∂ q D ¯ { X ( q ) } − ε D ¯ { X ( q ) } {displaystyle {overline {mathcal {D}}}left{{frac {d}{dq}}X(q) ight}={frac {partial }{partial q}}{overline {mathcal {D}}}{X(q)}-varepsilon {overline {mathcal {D}}}{X(q)}}
  • Таблица некоторых преобразований


  • Индуцированная топология
  • Минимизирующая последовательность
  • Теорема Хартогса
  • Предел Лапласа
  • Теорема Бохнера — Хинчина

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования