Волновое число

Волновое число — это отношение 2π радиан к длине волны:

k ≡ 2 π λ , {displaystyle kequiv {frac {2pi }{lambda }},}

— пространственный аналог угловой частоты.

С волновым числом связана другая величина, называемая пространственной частотой — количество периодов колебаний в пространстве на единицу длины. В спектроскопии волновым числом называют именно пространственную частоту и обычно измеряют в обратных сантиметрах (см−1).

Обычное обозначение: k {displaystyle k} .

Определение: волновым числом k называется быстрота роста фазы волны φ по пространственной координате:

k ≡ d φ d x . {displaystyle kequiv {frac {dvarphi }{dx}}.}

В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак минус, если волна распространяется в отрицательном направлении (против оси). В многомерном — это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определённое выбранное направление.

Поскольку в большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или по крайней мере почти монохроматической), производную в определении можно (для этих самых распространенных случаев) заменить на выражение с конечными разностями:

k ≡ Δ φ Δ x . {displaystyle kequiv {frac {Delta varphi }{Delta x}}.}

Исходя из этого, можно получить разные более-менее удобные формулировки:

• Волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра).
• Волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на 2π метров.
• Волновое число равно числу радиан волны на отрезке в 1 метр.

В спектроскопии волновым числом часто называют просто величину, обратную длине волны (1/λ), измеряемую обычно в обратных сантиметрах (см−1). Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя 2π.

Единица измерения — рад·м−1, физическая размерность м−1 (в системе СГС: см−1).

Используется в физике, математике (преобразование Фурье) и таких приложениях, как обработка изображений.

Основные соотношения

k ≡ 2 π λ = 2 π ν v φ = ω v φ , {displaystyle kequiv {frac {2pi }{lambda }}={frac {2pi u }{v_{varphi }}}={frac {omega }{v_{varphi }}},}

где:

λ — длина волны, ν {displaystyle u } (греческая буква «ню») — частота, v {displaystyle v} φ — фазовая скорость волны, ω — угловая частота.

Для монохроматической бегущей волны можно записать:

φ = k x − ω t {displaystyle varphi =kx-omega t} — для фазы; u ( x , t ) = c o n s t ⋅ c o s ( k x − ω t + φ 0 ) {displaystyle u(x,t)=constcdot mathrm {cos} (kx-omega t+varphi _{0})} — для самой волны;

или

u ( x , t ) = c o n s t ⋅ e i ( k x − ω t ) {displaystyle u(x,t)=constcdot e^{i(kx-omega t)}} — для комплексной волны; здесь φ 0 {displaystyle varphi _{0}} может быть спрятано в c o n s t {displaystyle const} ,

для монохроматической стоячей волны:

u ( x , t ) = c o n s t ⋅ c o s ( k ⋅ ( x − x 0 ) ) c o s ( ω ⋅ ( t − t 0 ) ) . {displaystyle u(x,t)=constcdot mathrm {cos} (kcdot (x-x_{0}))mathrm {cos} (omega cdot (t-t_{0})).}

Замечания

Волновое число точно определено для монохроматической волны. К волнам другого вида волновое число относится через понятие спектра (то есть через преобразования Фурье), то есть немонохроматическая волна вообще говоря содержит в разных пропорциях монохроматические компоненты с разными волновыми числами; впрочем, почти монохроматические волны могут приближенно быть описаны как волны с определённым волновым числом (их спектр в основном сосредоточен вблизи одного значения волнового числа).

Иногда, например, в квазигеометрическом (квазиклассическом) приближении, можно рассматривать волновое число (волновой вектор) как медленно меняющийся в пространстве, то есть волну не как монохроматическую, а как квазимонохроматическую. В этом случае, естественно, лучше использовать определение волнового числа (волнового вектора) с производной, а не с конечными разностями.

В сущности, единственный физически осмысленный случай, когда волновое число (волновой вектор) может меняться с x, даже относительно быстро, это случай формализма интеграла по траекториям. В этом случае в теории для описания волны присутствуют волны весьма специального вида:

u ( x , t ) = e i ∫ ( k d x − ω d t ) , {displaystyle u(x,t)=e^{iint (kdx-omega dt)},}

для которых упомянутое вполне корректно и осмысленно.

Волновое число в квантовой физике

В квантовой физике связывается с компонентой импульса по данному направлению:

p x = ℏ k x , {displaystyle p_{x}=hbar k_{x},}

где

px — компонента импульса по направлению x (для одномерной системы — полный импульс), kx — волновое число (компонента волнового вектора) по направлению x (для одномерной системы — просто волновое число), ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).

Поскольку константа Планка — универсальная константа, можно выбором системы единиц просто сделать ħ = 1. Тогда

p x = k x , {displaystyle p_{x}=k_{x},}

то есть в квантовой физике понятия компоненты импульса и волнового числа по сути совпадают. Это можно считать одним из фундаментальных принципов квантовой механики.

То же можно сказать для полного импульса и волнового числа без указания направления абсолютной величины волнового вектора):

p = ℏ k , {displaystyle p=hbar k,}

а в единицах ħ = 1:

p = k {displaystyle p=k}

В частном случае, для света в вакууме (и, в принципе, любых других безмассовых полей; приближенно — для ультрарелятивистских частиц) можно также написать:

k = E ℏ c , {displaystyle k={frac {E}{hbar c}},}

где

E — энергия, ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака), c — скорость света в вакууме.