Дробный идеал

В коммутативной алгебре, дробный идеал — это обобщение понятия идеала целостного кольца, особенно полезное при изучении дедекиндовых колец. Условно говоря, дробные идеалы — это идеалы со знаменателями. В случаях, когда одновременно обсуждаются дробные и обычные идеалы, последние называют целыми идеалами.

Основные определения

Пусть R — целостное кольцо, K — его поле частных. Дробный идеал кольца R — это R-подмодуль I поля K, такой что r I ⊆ R {displaystyle rIsubseteq R} для некоторого r ∈ R {displaystyle rin R} . Интуитивно, r {displaystyle r} сокращается со знаменателями всех элементов I. Главные дробные идеалы — это дробные идеалы, порождённые (как R-модули) единственным элементом поля K. Дробный идеал содержится в R тогда и только тогда, когда он является целым идеалом R.

Для двух дробных идеалов I, J можно определить из произведение IJ как множество всех конечных сумм ∑ n i n j n ,   i n ∈ I ,   j n ∈ J {displaystyle sum _{n}i_{n}j_{n}, i_{n}in I, j_{n}in J} : произведение IJ также является дробным идеалом. Дробный идеал I называется обратимым, если существует дробный идеал J, такой, что IJ = R. Множество обратимых идеалов образует абелеву группу по произведению, тождественный элемент которой — само кольцо R. Эта группа называется группой дробных идеалов кольца R, главные дробные идеалы образуют в ней подгруппу. Ненулевой дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он является проективным R-модулем.

Случай дедекиндовых колец

Дедекиндовы кольца выделяются среди целостных колец тем свойством, что каждый ненулевой дробный идеал обратим. В этом случае факторгруппа группы дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов называется группой классов идеалов и является важным инвариантом дедекиндова кольца. Обобщение понятия группы классов идеалов на случай недедекиндовых колец (и даже общих окольцованных пространств) называется группой Пикара.

Дивизорные идеалы

Обозначим через I ~ {displaystyle { ilde {I}}} пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал I. Эквивалентно,

I ~ = ( R : ( R : I ) ) , {displaystyle { ilde {I}}=(R:(R:I)),}

где

( R : I ) = { x ∈ K : x I ⊆ R } {displaystyle (R:I)={xin K:xIsubseteq R}}

Дробный идеал, получающийся в результате применения такой операции, называется дивизорным идеалом. Или, эквивалентно, дивизорные идеалы — это все дробные идеалы I {displaystyle I} , такие что I ~ = I . {displaystyle { ilde {I}}=I.} Произведение дивизорных идеалов является дивизорным идеалом, поэтому дивизорные идеалы образуют коммутативный моноид D ( R ) . {displaystyle D(R).} Этот моноид является группой тогда и только тогда, когда кольцо R вполне целозамкнуто.

Дивизорные идеалы обычно рассматривают для колец Крулля, в этом случае простые идеалы высоты 1 являются дивизорными и образуют базис абелевой группы D ( R ) . {displaystyle D(R).} Главные дробные идеалы являются дивизорными, факторгруппа D ( R ) {displaystyle D(R)} по подгруппе главных дробных идеалов называется группой классов дивизоров.