Треугольная матрица


Треугольная матрица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

Основные определения

Верхняя треугольная матрица (или верхнетреугольная матрица) — квадратная матрица A {displaystyle A} , у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю: a i j = 0 {displaystyle a_{ij}=0} при i > j {displaystyle i>j}

Нижняя треугольная матрица (или нижнетреугольная матрица) — квадратная матрица A {displaystyle A} , у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю: a i j = 0 {displaystyle a_{ij}=0} при i < j {displaystyle i<j} .

Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица A {displaystyle A} , в которой все элементы на главной диагонали равны единице: a j j = 1 {displaystyle a_{jj}=1} .

Диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной.

Применение

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результате:

  • любую матрицу A n × n {displaystyle A_{n imes n}} путём элементарных преобразований над строками и перестановок строк можно привести к треугольному виду.

Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет сложностей.

Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатах:

  • любую квадратную матрицу A {displaystyle A} с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы L {displaystyle L} и верхней треугольной матрицы U {displaystyle U} : A = L U {displaystyle A=LU} (см. LU-разложение), причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно потребовать, чтобы L {displaystyle L} была унитреугольной;
  • любую невырожденную квадратную матрицу A {displaystyle A} можно представить в следующем виде: P A = L U {displaystyle PA=LU} , где P {displaystyle P} — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP-разложение).

Свойства

  • Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали (в частности, определитель унитреугольной матрицы равен единице).
  • Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается UT(n, k) или UTn (k).
  • Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается LT(n, k) или LTn (k).
  • Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UTn (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUTn (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLTn (k).
  • Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц.
  • Группа UTn разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUTn нильпотентна.

  • Матрица (электроника)
  • Персимметричная матрица
  • Нелинейная задача собственных значений
  • Матрица Адамара
  • Дважды стохастическая матрица

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования