Теорема Хэйнсворта

Теорема Хэйнсворта — утверждение о свойствах дополнений Шура трех последовательно вложенных матриц.

Формулировка

Пусть A = ( A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 ) {displaystyle A={egin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}A_{21}&A_{22}&A_{23}A_{31}&A_{32}&A_{33}end{pmatrix}}} , B = ( A 11 A 12 A 21 A 22 ) {displaystyle B={egin{pmatrix}A_{11}&A_{12}A_{21}&A_{22}end{pmatrix}}} , C = A 11 {displaystyle C=A_{11}} - квадратные матрицы, причем матрицы B {displaystyle B} и C {displaystyle C} невырождены. Дополнение Шура матрицы C {displaystyle C} в матрице B {displaystyle B} ( B j C ) = A 22 − A 21 A 11 − 1 A 12 {displaystyle left(B{mathcal {j}}C ight)=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}} можно рассматривать как подматрицу матрицы ( A j C ) = ( A 22 A 23 A 32 A 33 ) − ( A 21 A 31 ) A 11 − 1 ( A 12 A 13 ) {displaystyle left(A{mathcal {j}}C ight)={egin{pmatrix}A_{22}&A_{23}A_{32}&A_{33}end{pmatrix}}-{A_{21} choose A_{31}}A_{11}^{-1}(A_{12}A_{13})} .

Тогда:

( A j B ) = ( ( A j C ) j ( B j C ) ) {displaystyle left(A{mathcal {j}}B ight)=left(left(A{mathcal {j}}C ight){mathcal {j}}left(B{mathcal {j}}C ight) ight)} .

Доказательство

Доказательство есть в книге .