Плюрисубгармоническая функция

16-05-2021, 06:03

Плюрисубгармоническая функция — вещественнозначная функция u = u ( z → ) {displaystyle u=u({vec {z}})} , от n {displaystyle n} комплексных переменных z → = ( z 1 , z 2 , … , z n ) {displaystyle {vec {z}}=(z_{1},;z_{2},;ldots ,;z_{n})} в области D {displaystyle D} комплексного пространства C n {displaystyle mathbb {C} ^{n}} , n ⩾ 1 {displaystyle ngeqslant 1} , удовлетворяющая следующим условиям:

  • u ( z ) {displaystyle u(z)} полунепрерывна сверху всюду в D {displaystyle D} ;
  • u ( z 0 + λ a ) {displaystyle u(z_{0}+lambda a)} есть субгармоническая функция переменного λ ∈ C {displaystyle lambda in mathbb {C} } в каждой связной компоненте открытого множества { λ ∈ C ∣ z 0 + λ a ∈ D } {displaystyle {lambda in mathbb {C} mid z_{0}+lambda ain D}} для любых фиксированных точек z 0 ∈ D {displaystyle z_{0}in D} , a ∈ C n {displaystyle ain mathbb {C} ^{n}} .
  • Примеры

    ln ⁡ | f ( z ) | {displaystyle ln |f(z)|} , | f ( z ) | p {displaystyle |f(z)|^{p}} при p ⩾ 0 {displaystyle pgeqslant 0} , где f ( z ) {displaystyle f(z)} — голоморфная функция в D {displaystyle D} .

    Связанные определения

    Функция v ( z ) {displaystyle v(z)} называется плюрисупергармонической функцией, если − v ( z ) {displaystyle -v(z)} есть плюрисубгармноническая функция.

    Свойства

    Плюрисубгармонические функции являются субгармоническими, но при n > 1 {displaystyle n>1} обратное не верно.

    Помимо общих свойств субгармонических функций, для плюрисубгармонических функций справедливы следующие:

    • u ( z ) {displaystyle u(z)} есть плюрисубгармоническая функция в области D {displaystyle D} тогда и только тогда, когда u ( z ) {displaystyle u(z)} — плюрисубгармоническая функция в окрестности каждой точки z ∈ D {displaystyle zin D} ;
    • линейная комбинация плюрисубгармонических функций с положительными коэффициентами есть плюрисубгармоническая функция;
    • пределы равномерно сходящейся и монотонно убывающей последовательностей плюрисубгармонических функций суть плюрисубгармоническиe;
    • для любой точки z 0 ∈ D {displaystyle z_{0}in D} среднее значение
    ∮ S r ( z 0 ) u {displaystyle oint limits _{S_{r}(z_{0})}u}

    по сфере радиуса r {displaystyle r} , есть возрастающая функция по r {displaystyle r} , выпуклая относительно ln ⁡ r {displaystyle ln r} на отрезке 0 < r < R {displaystyle 0<r<R} , если шар B R ( z 0 ) {displaystyle B_{R}(z_{0})} расположен в D {displaystyle D} ;

    • при голоморфных отображениях плюрисубгармоническая функция переходит в плюрисубгармоническую;
    • если u ( z ) {displaystyle u(z)} — непрерывная плюрисубгармоническая функция в области D {displaystyle D} , E {displaystyle E} — замкнутое связное аналитическое подмножество D {displaystyle D} и сужение u | E {displaystyle u|_{E}} достигает максимума на E {displaystyle E} , то u ( z ) = c o n s t {displaystyle u(z)=mathrm {const} } на E {displaystyle E} .

  • Кусочно-гладкая функция
  • Континуанта
  • Континуанта
  • Хеммингова сфера
  • Теорема Хартогса

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования