Нильпотентный идеал

Нильпотентный идеал — идеал I {displaystyle I} кольца R {displaystyle R} , для которого существует натуральное число k {displaystyle k} , такое, что I k = 0 {displaystyle I^{k}=0} ( I k {displaystyle I^{k}} — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из k {displaystyle k} элементов идеала I {displaystyle I} , то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число k {displaystyle k} , такое, что произведение любых k {displaystyle k} элементов идеала I {displaystyle I} равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец.

В кольце Z p n {displaystyle mathbb {Z} _{p^{n}}} вычетов по модулю p n {displaystyle p^{n}} , где p {displaystyle p} — некоторое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны. В кольце верхнетреугольных матриц над некоторым полем матрицы, у которых на главной диагонали стоят нули, образуют нильпотентный идеал.

Любой элемент нильпотентного идеала нильпотентен. В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент содержится в некотором нильпотентном идеале, например, в главном идеале, порожденном этим элементом. В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, не содержащиеся ни в одном нильпотентном идеале (и даже ниль-идеале).

В конечномерной алгебре Ли g {displaystyle g} существует максимальный нильпотентный идеал, состоящий из элементов x ∈ g {displaystyle xin g} , для которых эндоморфизм y → [ x , y ] {displaystyle y o [x,y]} для y ∈ g {displaystyle yin g} нильпотентен.

Связь с ниль-идеалами

Всякий нильпотентный идеал является ниль-идеалом, обратное в общем случае неверно, однако в некоторых классах эти понятия совпадают. Ниль-идеал не обязательно нильпотентен по нескольким причинам: во-первых, может не быть глобальной верхней границы экспоненты для обнуления различных элементов ниль-идеала, а во-вторых, каждый элемент, будучи нильпотентным, не обязательно даст нулевое произведение при умножении различных элементов.

В правом артиновом кольце любой ниль-идеал является нильпотентным. Это подтверждается следующим наблюдением: любой ниль-идеал содержится в радикале Джекобсона кольца, а из факта, что радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (вследствие гипотезы Артина), следует требуемое утверждение. Фактически это утверждение можно обобщить до правых нётеровых колец, этот результат известен как теорема Левицкого.