Преобразование Хаусхолдера

16-05-2021, 22:27

Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование H u {displaystyle H_{u}} векторного пространства V {displaystyle V} , которое описывает его отражение относительно гиперплоскости, проходящей через начало координат.

Использовалось в работе американского математика Элстона Скотта Хаусхолдера 1958 года.

Широко применяется в линейной алгебре для QR-разложения матрицы.

Определения

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором u {displaystyle u} , который ортогонален ей, а ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {displaystyle langle cdot ,cdot angle } — скалярное произведение в V {displaystyle V} , тогда

H u ( x ) = x − 2 ⟨ x , u ⟩ u {displaystyle H_{u}(x)=x-2langle x,u angle u}

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

H = I − 2 u u † . {displaystyle H=I-2uu^{dagger }.}

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Свойства

  • Матрица Хаусхолдера является эрмитовой: H = H † . {displaystyle H=H^{dagger }.}
  • Матрица Хаусхолдера является унитарной: H † H = I . {displaystyle H^{dagger }H=I.}
  • Матрица Хаусхолдера является инволюцией: H 2 = I {displaystyle H^{2}=I} .
  • Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение, равное − 1 {displaystyle -1} , которое соответствует собственному вектору u {displaystyle u} , все другие собственные значения равны 1 {displaystyle 1} .
  • Определитель матрицы Хаусхолдера равен − 1 {displaystyle -1} .

  • Антикоммутативность
  • Теорема о запрете клонирования
  • Континуанта
  • Система корней
  • Смешанное произведение

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования