Резольвента интегрального уравнения

Резольвента интегрального уравнения

Рассмотрим интегральное уравнение:

f ( s ) + λ ∫ a b K ( s , t ) φ ( t ) d t = φ ( s ) . ( ∗ ) {displaystyle f(s)+lambda int limits _{a}^{b}K(s,;t)varphi (t),dt=varphi (s).qquad (*)}

Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция Γ ( s , t , λ ) {displaystyle Gamma (s,;t,;lambda )} переменных s {displaystyle s} , t {displaystyle t} и параметра λ {displaystyle lambda } , что решение уравнения (*) представляется в виде:

u ∗ ( s ) = f ( s ) + λ ∫ a b Γ ( s , t , λ ) f ( t ) d t . {displaystyle u^{*}(s)=f(s)+lambda int limits _{a}^{b}Gamma (s,;t,;lambda )f(t),dt.}

При этом λ {displaystyle lambda } не должна быть собственным числом уравнения (*).

Пример

Пусть уравнение (*) имеет ядро K ( s , t ) = s + t {displaystyle K(s,;t)=s+t} , то есть само уравнение имеет вид:

φ ( s ) + λ ∫ a b ( s + t ) φ ( t ) d t = f ( s ) . {displaystyle varphi (s)+lambda int limits _{a}^{b}(s+t)varphi (t),dt=f(s).}

Тогда его резольвентой является функция

Γ ( s , t , λ ) = s + t − λ ( s + t 2 − s t − 1 3 ) 1 − λ − λ 2 12 . {displaystyle Gamma (s,;t,;lambda )={frac {s+t-lambda left({dfrac {s+t}{2}}-st-{dfrac {1}{3}} ight)}{1-lambda -{dfrac {lambda ^{2}}{12}}}}.}

Резольвента линейного оператора

Пусть A {displaystyle A} — линейный оператор. Тогда его резольвентой называется операторнозначная функция

R ( z ) = ( A − z E ) − 1 {displaystyle R(z)=(A-zE)^{-1}} ,

где E {displaystyle E} — тождественный оператор, а z {displaystyle z} — комплексное число, из резольвентного множества, то есть такого множества, что R ( z ) {displaystyle R(z)} есть ограниченный оператор

Данное понятие используется для решения неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.