Число Коксетера

3-04-2021, 18:23

Число Коксетера — характеристика конечной неприводимой группы Коксетера. В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли g {displaystyle {mathfrak {g}}} , то говорят о числе Коксетера алгебры g {displaystyle {mathfrak {g}}} .

Понятие названо в честь Гарольда Коксетера.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений этого числа.

  • Число Коксетера равно количеству корней, делённому на ранг. Эквивалентно, число Коксетера равно удвоенному числу отражений в группе Коксетера, делённому на ранг. Если группа построена по простой алгебре Ли, то размерность этой алгебры равна n(h + 1), где n — ранг, и h — число Коксетера.
  • Элементом Коксетера (иногда элементом Киллинга — Коксетера) называется произведение всех простых отражений (не путать с элементом группы Коксетера наибольшей длины). Числом Коксетера называется порядок элемента Коксетера.
  • Если θ = ∑ m i α i {displaystyle heta =sum m_{i}alpha _{i}} — разложение старшего корня по простым корням, то число Коксетера равно 1 + ∑ m i {displaystyle 1+sum m_{i}} .
    • Эквивалентно, если ρ ∨ {displaystyle ho ^{vee }} — такой элемент, что ⟨ ρ ∨ , α i ⟩ = 1 {displaystyle langle ho ^{vee },alpha _{i} angle =1} , то h = ⟨ ρ ∨ , θ ⟩ + 1 {displaystyle h=langle ho ^{vee }, heta angle +1} .
  • Число Коксетера — это наибольшая из степеней базисных инвариантов группы Коксетера.

Таблица значений

Вариации и обобщения

Дуальное число Коксетера

В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли g {displaystyle {mathfrak {g}}} , можно ввести дуальное (двойственное) число Коксетера h ∨ {displaystyle h^{vee }} . Такое понятие, видимо, впервые появилось в статье Спрингера и Стейнберга 1970 года и часто встречается в теории представлений. Определить это число можно любым из следующих способов.

  • Если ρ {displaystyle ho } — это полусумма положительных корней, а θ {displaystyle heta } — это старший корень, то h ∨ = ⟨ ρ , θ ⟩ + 1 {displaystyle h^{vee }=langle ho , heta angle +1} .
  • Если θ m = ∑ m i α i {displaystyle heta _{m}=sum m_{i}alpha _{i}} — это старший из коротких корней, разложенный по простым корням, то h ∨ = ∑ m i + 1 {displaystyle h^{vee }=sum m_{i}+1} .
  • Удвоенное дуальное число Коксетера равно отношению двух инвариантных симметричных билинейных форм на алгебре Ли g {displaystyle {mathfrak {g}}} : формы Киллинга и формы, в которой старший корень имеет длину 2.
  • По таблице выше.

Для алгебр Ли с простыми связями число Коксетера и дуальной число Коксетера совпадают. Дуальное число число Коксетера не следует путать с числом Коксетера дуальной алгебры Ли.

Для аффинной алгебры Ли g ^ {displaystyle {widehat {mathfrak {g}}}} значение уровня, равное − h ∨ {displaystyle -h^{vee }} , называется критическим, при этом значении универсальная обертывающая алгебра имеет большой центр.


  • Закон Пуазёйля
  • Альтернатива Титса
  • Оренбургская областная ветеринарная лаборатория успешно прошла проверку квалификации
  • Количественные признаки овса
  • В Коми число фермерских хозяйств выросло в 1,6 раза

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования