Соты (геометрия)
Соты — это заполнение пространства непересекающимися многогранниками, при котором не остаётся незаполненного пространства. Это обобщение математического понятия мозаика или паркет на любую размерность.
Соты обычно рассматриваются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, что даст однородные соты в сферическом пространстве.
Классификация
Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.
Простейшие соты формируются из слоёв призм, построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит тетраэдр Хилла и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.
Однородные трёхмерные соты
Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве, составленные из однородных многогранников имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространстве, называемых также архимедовыми сотами.
Соты называются правильными, если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты. Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):
Тетраэдрально-октаэдральные соты и повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.
Заполняющие пространство многогранники
О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о ячеечно-транзитивных или изохорных. Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках.
Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками:
Другие известные примеры:
- Треугольные призматические соты.
- Однородные повёрнутые треугольные призматические соты
- Усечённые триакистетраэдральные соты. Ячейки мозаики Вороного атомов углерода в алмазе имеют такой вид.
- Трапецеидально-ромбические додекаэдральные соты.
- Простые изоэдричечкие мозаики.
Другие соты с двумя и более многогранниками
Иногда два и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит структура Уэйра-Фелана, заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата.
Структура Уэйра-Фелана (с двумя типами ячеек)
Невыпуклые трёхмерные соты
Документированные примеры редки. Можно различить два класса:
- Невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников. Они включают упаковку малые звёздчатые ромбические додекаэдры как в кубе Ёшимото.
- Мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.
Гиперболические соты
В трёхмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами, имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут π/2 и 2π/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.
Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот и много однородных гиперболических сот.
Двойственность сот в трёхмерном пространстве
Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом:
ячеек на вершины. граней на рёбра.Для правильных сот:
- Кубические соты самодвойственны.
- Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров.
- Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик.
- Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье Инчбальда.
Самодвойственные соты
Соты могут быть самодвойственными. Все n-мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3n−2,4} самодвойственны.