Теорема Бохнера — Хинчина

Теорема Бохнера — Хинчина — в теории вероятностей: теорема о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы функция была характеристической; в теории случайных процессов: теорема о свойствах корреляционной функции стационарных процессов.

Теория вероятностей

Формулировка

Пусть φ ( u ) {displaystyle varphi (u)} - непрерывная функция u ∈ R n {displaystyle uin R^{n}} и φ ( 0 ) = 1 {displaystyle varphi (0)=1} . Для того, чтобы функция φ ( u ) {displaystyle varphi (u)} была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определённой функцией, то есть при каждом целом m > 0 {displaystyle m>0} для любых вещественных чисел u 1 , u 2 , . . . , u m {displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m}} и любых комплексных чисел z 1 , z 2 , . . . , z m {displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m}} выполняется неравенство ∑ i , j = 1 m φ ( u i − u j ) z i z j ¯ ⩾ 0 {displaystyle sum _{i,j=1}^{m}varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{ar {z_{j}}}geqslant 0} .

Здесь z j ¯ {displaystyle {ar {z_{j}}}} означает комплексно сопряжённое к z j {displaystyle z_{j}} число.

Доказательство

Доказательство есть в книге

Теория случайных процессов

Формулировка

Пусть { ξ ( t ) , t ∈ T } {displaystyle left{xi (t),tin T ight}} - стационарный в широком смысле процесс с корреляционной функцией B ( t ) {displaystyle B(t)} .

• Если { ξ ( t ) , t ∈ T } {displaystyle left{xi (t),tin T ight}} - скалярный процесс с дискретным временем, то:

B ( t ) = { ∫ − π π e i λ t d F ( λ ) , в случае комплексного процесса ∫ 0 π [ cos ⁡ ( λ t ) d C ( λ ) + sin ⁡ ( λ t ) d Q ( λ ) ] , в случае действительного процесса {displaystyle B(t)={egin{cases}int _{-pi }^{pi }e^{ilambda t}dF(lambda ),&{mbox{в случае комплексного процесса}}int _{0}^{pi }left[cos(lambda t)dC(lambda )+sin(lambda t)dQ(lambda ) ight],&{mbox{в случае действительного процесса}}end{cases}}}

где F ( λ ) {displaystyle F(lambda )} - неотрицательная неубывающая функция, определяемая по B ( t ) {displaystyle B(t)} однозначно, если потребовать, чтобы F ( − π ) = 0 {displaystyle F(-pi )=0} и F ( λ ) {displaystyle F(lambda )} была непрерывной справа, C ( λ ) {displaystyle C(lambda )} - действительная четная неубывающая функция ограниченной вариации, Q ( λ ) {displaystyle Q(lambda )} - действительная нечетная функция ограниченной вариации.

• Если { ξ ( t ) , t ∈ T } {displaystyle left{xi (t),tin T ight}} - векторный процесс с дискретным временем, то для B ( t ) {displaystyle B(t)} имеет место представление как для скалярного процесса с дискретным временем, где F ( λ ) {displaystyle F(lambda )} - матрица, приращения которой F ( λ 1 ) − F ( λ 2 ) , λ 1 ⩾ λ 2 {displaystyle F(lambda _{1})-F(lambda _{2}),lambda _{1}geqslant lambda _{2}} эрмитовы и неотрицательно определены, C ( λ ) {displaystyle C(lambda )} - вещественная симметричная матрица, приращения которой C ( λ 1 ) − C ( λ 2 ) , λ 1 ⩾ λ 2 {displaystyle C(lambda _{1})-C(lambda _{2}),lambda _{1}geqslant lambda _{2}} неотрицательно определены, Q ( λ ) {displaystyle Q(lambda )} - вещественная кососимметрическая матрица. Матрица F ( λ ) {displaystyle F(lambda )} определяется однозначно по B ( t ) {displaystyle B(t)} , если потребовать, чтобы F ( − π ) = 0 {displaystyle F(-pi )=0} (нулевая матрица) и F ( λ ) {displaystyle F(lambda )} была непрерывной справа (в смысле поэлементной сходимости).

• Если { ξ ( t ) , t ∈ T } {displaystyle left{xi (t),tin T ight}} - скалярный процесс с непрерывным временем, то:

B ( t ) = { ∫ − ∞ ∞ e i λ t d F ( λ ) , в случае комплексного процесса ∫ 0 ∞ [ cos ⁡ ( λ t ) d C ( λ ) + sin ⁡ ( λ t ) d Q ( λ ) ] , в случае действительного процесса {displaystyle B(t)={egin{cases}int _{-infty }^{infty }e^{ilambda t}dF(lambda ),&{mbox{в случае комплексного процесса}}int _{0}^{infty }left[cos(lambda t)dC(lambda )+sin(lambda t)dQ(lambda ) ight],&{mbox{в случае действительного процесса}}end{cases}}}

где функции F ( λ ) , C ( λ ) , Q ( λ ) {displaystyle F(lambda ),C(lambda ),Q(lambda )} определяются так же, как в случае скалярного процесса с дискретным временем, за исключением условия F ( − ∞ ) = 0 {displaystyle F(-infty )=0} .

• Если { ξ ( t ) , t ∈ T } {displaystyle left{xi (t),tin T ight}} - векторный процесс с непрерывным временем, то для B ( t ) {displaystyle B(t)} имеют место представления как в случае скалярного процесса с непрерывным временем, где матрицы F ( λ ) , C ( λ ) , Q ( λ ) {displaystyle F(lambda ),C(lambda ),Q(lambda )} определяются так же, как в случае векторного процесса с дискретным временем, за исключением условия F ( − ∞ ) = 0 {displaystyle F(-infty )=0} (нулевая матрица).