Квантили распределения Стьюдента

6-04-2021, 22:06

Квантили распределения Стьюдента (коэффициенты Стьюдента) — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики, таких как построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез.

Определение

Пусть F n {displaystyle F_{n}} — функция распределения Стьюдента t ( n ) {displaystyle mathrm {t} (n)} с n {displaystyle n} степенями свободы, и α ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle alpha in [0,1]} . Тогда α {displaystyle alpha } -квантилью этого распределения называется число t α , n {displaystyle t_{alpha ,n}} такое, что

F n ( t α , n ) = 1 − α {displaystyle F_{n}left(t_{alpha ,n} ight)=1-alpha } .

Замечания

  • Прямо из определения следует, что случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с n {displaystyle n} степенями свободы, превышает значение t α , n {displaystyle t_{alpha ,n}} с вероятностью α {displaystyle alpha } и не превышает его с вероятностью 1 − α {displaystyle 1-alpha } .
  • Функция F n {displaystyle F_{n}} строго возрастает для любого n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N} } . Следовательно, определена её обратная функция F n − 1 {displaystyle F_{n}^{-1}} , и
F n − 1 ( 1 − α ) = t α , n {displaystyle F_{n}^{-1}(1-alpha )=t_{alpha ,n}} .
  • Функция F n − 1 {displaystyle F_{n}^{-1}} не имеет простого представления. Однако, возможно вычислить её значения численно.
  • Распределение t ( n ) {displaystyle mathrm {t} (n)} симметрично. Следовательно,
t 1 − α , n = − t α , n {displaystyle t_{1-alpha ,n}=-t_{alpha ,n}} .

Таблица квантилей

Нижеприведённая таблица получена с помощью функции tinv пакета MATLAB. Чтобы получить значение t α , k {displaystyle t_{alpha ,k}} , необходимо найти строку, соответствующую нужному k {displaystyle k} , числу степеней свободы, рассчитываемому по формуле k = n − 1 {displaystyle k=n-1} , и колонку, соответствующую нужному α {displaystyle alpha } . Искомое число находится в таблице на их пересечении. Если необходимо использовать α {displaystyle alpha } , не приведённое в таблице, то значения можно получить в табличных редакторах (в Excel функция СТЬЮДРАСПОБР; в Open(Libre)Office - TINV). Кроме того, не следует путать запись t α , k {displaystyle t_{alpha ,k}} и t p , k {displaystyle t_{p,k}} . Во второй записи, которая очень часто приводится в качестве ответа, речь идёт о величине "p=1- α {displaystyle alpha } ".


Квантили t α , k {displaystyle t_{alpha ,k}}

Пример

t 0.2 , 4 = 1.5332 {displaystyle t_{0.2,4}=1.5332} ( α {displaystyle alpha } =0.2, k=4); t 0.8 , 4 = 0.2707 {displaystyle t_{0.8,4}=0.2707} ( α {displaystyle alpha } =0.8, k=4).

  • Вторая гипотеза Харди — Литлвуда
  • Уравнение переноса
  • Дважды стохастическая матрица
  • Закон Ньютона — Рихмана
  • Число Коксетера

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования