Гамма-распределение

Гамма-распределение в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр k {displaystyle k} принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределением Эрланга.

Определение

Пусть распределение случайной величины X {displaystyle X} задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

f X ( x ) = { x k − 1 e − x / θ θ k Γ ( k ) , x ≥ 0 0 , x < 0 , {displaystyle f_{X}(x)=left{{egin{matrix}x^{k-1}{frac {e^{-x/ heta }}{ heta ^{k},Gamma (k)}},&xgeq 0,&x<0end{matrix}} ight.,} где Γ ( k ) {displaystyle Gamma (k)} — гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина X {displaystyle X} имеет гамма-распределение с положительными параметрами θ {displaystyle heta } и k {displaystyle k} . Пишут X ∼ Γ ( k , θ ) {displaystyle X hicksim Gamma (k, heta )} .

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X {displaystyle X} , имеющей гамма-распределение, имеют вид

E [ X ] = k θ {displaystyle mathbb {E} [X]=k{ heta }} , D [ X ] = k θ 2 {displaystyle mathbb {D} [X]=k{ heta ^{2}}} .

Свойства гамма-распределения

• Если X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} — независимые случайные величины, такие что X i ∼ Γ ( k i , θ ) , i = 1 , … , n {displaystyle X_{i}sim Gamma (k_{i}, heta ),;i=1,ldots ,n} , то

Y = ∑ i = 1 n X i ∼ Γ ( ∑ i = 1 n k i , θ ) {displaystyle Y=sum limits _{i=1}^{n}X_{i}sim Gamma left(sum _{i=1}^{n}k_{i}, heta ight)} .

• Если X ∼ Γ ( k , θ ) {displaystyle X hicksim Gamma (k, heta )} , и a > 0 {displaystyle a>0} — произвольная константа, то

a X ∼ Γ ( k , a θ ) {displaystyle aX hicksim Gamma (k,a heta )} .

• Гамма-распределение бесконечно делимо.

Связь с другими распределениями

• Гамма-распределение является распределением Пирсона типа III.
• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

Γ ( 1 , 1 / λ ) ≡ E x p ( λ ) {displaystyle Gamma (1,1/lambda )equiv mathrm {Exp} (lambda )} .

• Если X 1 , … , X k {displaystyle X_{1},ldots ,X_{k}} — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что X i ∼ E x p ( λ ) , i = 1 , … , k {displaystyle X_{i}sim mathrm {Exp} (lambda ),;i=1,ldots ,k} , то

Y = ∑ i = 1 k X i ∼ Γ ( k , 1 / λ ) {displaystyle Y=sum limits _{i=1}^{k}X_{i}sim Gamma (k,1/lambda )} .

• Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения:

Γ ( n 2 , 2 ) ≡ χ 2 ( n ) {displaystyle Gamma left({frac {n}{2}},2 ight)equiv chi ^{2}(n)} .

• Согласно центральной предельной теореме, при больших k {displaystyle k} гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:

Γ ( k , θ ) ≈ N ( k θ , k θ 2 ) {displaystyle Gamma (k, heta )approx mathrm {N} (k heta ,k heta ^{2})} при k → ∞ {displaystyle k o infty } .

• Если X 1 , X 2 {displaystyle X_{1},X_{2}} — независимые случайные величины, такие что X i ∼ Γ ( k i , 1 ) , i = 1 , 2 {displaystyle X_{i}sim Gamma (k_{i},1),;i=1,2} , то

X 1 X 1 + X 2 ∼ B ( k 1 , k 2 ) {displaystyle {frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}sim mathrm {mathrm {B} } (k_{1},k_{2})} .

• Распределение Рэлея заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Обычное распределение Вейбулла заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Распределение Накагами заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Естественным обобщением гамма-распределения является усеченное гамма-распределение.

Моделирование гамма-величин

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение Γ ( 1 , 1 ) {displaystyle Gamma (1,1)} совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то − ln ⁡ U ∼ Γ ( 1 , 1 ) {displaystyle {-ln U}sim Gamma (1,1)} .

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

∑ i = 1 n − ln ⁡ U i ∼ Γ ( n , 1 ) , {displaystyle sum _{i=1}^{n}{-ln U_{i}}sim Gamma (n,1),}

где Ui — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

Положить m равным 1.

Сгенерировать V 2 m − 1 {displaystyle V_{2m-1}} и V 2 m {displaystyle V_{2m}} — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Если V 2 m − 1 ≤ v 0 {displaystyle V_{2m-1}leq v_{0}} , где v 0 = e e + δ {displaystyle v_{0}={frac {e}{e+delta }}} , перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.

Положить ξ m = ( V 2 m − 1 v 0 ) 1 δ ,   η m = V 2 m ξ m δ − 1 {displaystyle xi _{m}=left({frac {V_{2m-1}}{v_{0}}} ight)^{frac {1}{delta }}, eta _{m}=V_{2m}xi _{m}^{delta -1}} . Перейти к шагу 6.

Положить ξ m = 1 − ln ⁡ V 2 m − 1 − v 0 1 − v 0 ,   η m = V 2 m e − ξ m {displaystyle xi _{m}=1-ln {frac {V_{2m-1}-v_{0}}{1-v_{0}}}, eta _{m}=V_{2m}e^{-xi _{m}}} .

Если η m > ξ m δ − 1 e − ξ m {displaystyle eta _{m}>xi _{m}^{delta -1}e^{-xi _{m}}} , то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.

Принять ξ = ξ m {displaystyle xi =xi _{m}} за реализацию Γ ( δ , 1 ) {displaystyle Gamma (delta ,1)} .

Подытожим:

θ ( ξ − ∑ i = 1 [ k ] ln ⁡ U i ) ∼ Γ ( k , θ ) , {displaystyle heta left(xi -sum _{i=1}^{[k]}{ln U_{i}} ight)sim Gamma (k, heta ),}

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui и Vl распределены как указано выше и попарно независимы.