Артинов модуль

Артинов модуль — модуль над кольцом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей. Символически, модуль M {displaystyle M} артинов, если всякая последовательность его подмодулей:

M 1 ⊃ M 2 ⊃ … ⊃ M i ⊃ … {displaystyle M_{1}supset M_{2}supset ldots supset M_{i}supset ldots }

стабилизируется, то есть начиная с некоторого n {displaystyle n} выполнено:

M n = M n + 1 = … {displaystyle M_{n}=M_{n+1}=ldots } .

Это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей M {displaystyle M} существует минимальный элемент.

Если M {displaystyle M} — артинов, то любой его подмодуль и любой его фактормодуль артиновы. Обратно, если подмодуль N ⊂ M {displaystyle Nsubset M} и фактормодуль M / N {displaystyle M/N} артиновы, то и сам модуль M {displaystyle M} артинов.

Названы в честь Эмиля Артина, наряду с подобными общеалгебраическими структурами с условиями обрыва убывающих цепей (артинова группа, артиново кольцо), и двойственными «нётеровым» структурам с условием обрыва возрастающих цепей (нётеров модуль, нётерова группа, нётерово кольцо). В частности, ассоциативное кольцо A {displaystyle A} с единичным элементом называется артиновым, если оно является артиновым A {displaystyle A} -модулем (удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для идеалов, для некоммутативного случая соответственно левых или правых).