Задача Буземана — Петти

Задача Буземана — Петти — вопрос выпуклой геометрии, сформулированный Буземаном и Петти в 1956 году.

Правда ли, что симметричное выпуклое тело с большими центральными сечениями гиперплоскостями имеет больший объём?

Ответ положительный в размерностях ≤ 4 {displaystyle leq 4} , и отрицательный в размерностях ≥ 5 {displaystyle geq 5} .

Задача знаменита тем, что в размерности 4 {displaystyle 4} , был дан сначала (неправильный) отрицательный ответ, a через несколько лет положительный. При этом обе статьи были опубликованы одним и тем же автором в одном из самых престижных математических журналов, Annals of Mathematics.

Формулировка

Пусть K 1 {displaystyle K_{1}} и K 2 {displaystyle K_{2}} — выпуклые тела в n {displaystyle n} -мерном евклидовом пространстве с общим центром симметрии такие, что

V o l n − 1 ( K 1 ∩ A ) ≤ V o l n − 1 ( K 2 ∩ A ) {displaystyle mathrm {Vol} _{n-1},(K_{1}cap A)leq mathrm {Vol} _{n-1},(K_{2}cap A)}

для каждой гиперплоскости A {displaystyle A} , проходящей через центр симметрии. Верно ли, что

V o l n K 1 ≤ V o l n K 2   ? {displaystyle mathrm {Vol} _{n},K_{1}leq mathrm {Vol} _{n},K_{2} ?}

История

• В размерности 2 задача тривиальна, ответ положительный.
• 1956 Буземан и Петти показали, что ответ будет положительным, если первое тело является шаром.
• 1975 Лармен и Роджерс построили контрпример в размерностях ≥ 12 {displaystyle geq 12} .
• 1986, Кит Болл доказал, что взяв куб как первое тело и подходящий шар как второе, получаем контрпример в размерностях ≥ 10 {displaystyle geq 10} .
• 1988, Лютвак показал что ответ на задачу в данной размерности положителен тогда и только тогда, когда все симметричные выпуклые тела в этой размерности являются телами сечений.
• Джиэннопулос и Бурген независимо построили контрпримеры в размерностях ≥ 7 {displaystyle geq 7} .
• Пэпэдимитракис и Гарднер независимо построили контрпримеры в размерностях 5 и 6.
• 1994 Гарднер дал положительный ответ в размерности 3 {displaystyle 3} .
• 1994 Гаоюн Чжан опубликовал работу (в Annals of Mathematics), в которой в частности утверждал, что в размерности 4 {displaystyle 4} ответ отрицательный.
• 1997 Александр Колдобский опроверг утверждение Гаоюн Чжана.
• 1999 После изучения, результатов Колдобского, Чжан быстро доказал, что на самом деле в размерности 4 {displaystyle 4} ответ утвердительный. Эта более поздняя работа была также опубликована в Annals of Mathematics.

Вариации и обобщения

• Теорема единственности Минковского утверждает, что если два симметричных выпуклых тела имеют равновеликие сечения любой гиперплоскостью, проходящий через их общий центр, то эти два тела равны.
• Задача Шепарда — аналогичная задача, в которой вместо сечений, рассматриваются проекции на все возможные гиперплоскости.