Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.
Определение
Если функция y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} такова, что для любого её значения y 0 {displaystyle y_{0}} уравнение f ( x ) = y 0 {displaystyle f(x)=y_{0}} имеет относительно x {displaystyle x} единственный корень, то говорят, что функция f {displaystyle f} обратима.
Свойства
Если функция y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} определена и возрастает (или убывает) на промежутке X {displaystyle X} и областью её значений является промежуток Y {displaystyle Y} , то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на X {displaystyle X} . Если функция y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} задана формулой, то для нахождения обратной к ней функции нужно решить уравнение f ( x ) = y {displaystyle f(x)=y} относительно x {displaystyle x} , а потом поменять местами x {displaystyle x} и y {displaystyle y} . Если уравнение f ( x ) = y {displaystyle f(x)=y} имеет более одного корня, то функции, обратной функции y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} , не существует. Графики обратных функций симметричны относительно прямой y = x {displaystyle y=x} . Если f {displaystyle f} и g {displaystyle g} – функции, обратные друг другу, то E ( f ) = D ( g ) {displaystyle E(f)=D(g)} , D ( f ) = E ( g ) {displaystyle D(f)=E(g)} , где D {displaystyle D} и E {displaystyle E} – области определения и значений соответственно. Обратная функция может существовать только для обратимой функции. Примеры
- Функция y = x 2 {displaystyle y=x^{2}} не является обратимой на R {displaystyle mathbb {R} } , но обратима при x ⩾ 0 {displaystyle xgeqslant 0} или x ⩽ 0 {displaystyle xleqslant 0} .
- Функция sin x {displaystyle sin x} не является обратимой на R {displaystyle mathbb {R} } , т. к. одному значению функции соответствует бесконечное множество значений аргумента.
