Белый шум

Белый шум — стационарный шум, спектральные составляющие которого равномерно распределены по всему диапазону задействованных частот. Примерами белого шума являются шум близкого водопада (отдаленный шум водопада — розовый, так как высокочастотные составляющие звука затухают в воздухе сильнее низкочастотных), или дробовой шум на клеммах большого сопротивления, или шум стабилитрона, через который протекает очень малый ток. Название получил от белого света, содержащего электромагнитные волны частот всего видимого диапазона электромагнитного излучения. Кроме белого, существуют шумы многих цветов.

В природе и технике «чисто» белый шум (то есть белый шум, имеющий одинаковую спектральную мощность на всех частотах) не встречается (ввиду того, что такой сигнал имел бы бесконечную мощность), однако под категорию белых шумов попадают любые шумы, спектральная плотность которых одинакова (или слабо отличается) в рассматриваемом диапазоне частот.

Статистические свойства

Термин «белый шум» обычно применяется к сигналу, имеющему автокорреляционную функцию, математически описываемую дельта-функцией Дирака по всем измерениям многомерного пространства, в котором этот сигнал рассматривается. Сигналы, обладающие этим свойством, могут рассматриваться как белый шум. Данное статистическое свойство является основным для сигналов такого типа.

То, что белый шум не коррелирован по времени (или по другому аргументу), не определяет его значений во временной (или любой другой рассматриваемой аргументной) области. Наборы, принимаемые сигналом, могут быть произвольными с точностью до главного статистического свойства (однако постоянная составляющая такого сигнала должна быть равна нулю). К примеру, последовательность символов 1 и −1, умноженная на последовательность дельта-функций, следующих с частотой следования символов, будет являться белым шумом только если последовательность символов будет некоррелирована. Сигналы, имеющие непрерывное распределение (к примеру, нормальное распределение), также могут быть белым шумом.

Дискретный белый шум — это просто последовательность независимых (то есть статистически не связанных друг с другом) чисел. С использованием генератора псевдослучайных чисел пакета Visual C++, дискретный белый шум можно получить так:

x[i] = 2 * ((rand()/((double)RAND_MAX)) - 0.5)

В данном случае x — массив дискретного белого шума (без нулевой частотной составляющей), имеющего равномерное распределение от −1 до 1.

Иногда ошибочно предполагается, что гауссовый шум (то есть шум с гауссовым распределением его значений — см. нормальное распределение) эквивалентен белому шуму. Однако эти понятия не эквивалентны. Гауссовый шум предполагает распределение значений сигнала в виде нормального распределения, тогда как термин «белый» имеет отношение к корреляции сигнала в два различных момента времени (эта корреляция не зависит от распределения значений шума). Белый шум может иметь любое распределение — как Гаусса, так и распределение Пуассона, Коши и т. д. Гауссовый белый шум в качестве модели хорошо подходит для математического описания многих природных процессов (см. Аддитивный белый гауссовый шум).

Цветной шум

Для удобства описания в физике введены термины, приписывающие шумовым сигналам различные цвета в зависимости от их статистических свойств, к примеру, розовый шум или синий шум.

Применения

Белый шум находит множество применений в физике и технике. Одно из них — в архитектурной акустике. Для того чтобы скрыть нежелательные шумы во внутренних пространствах зданий, генерируется стационарный белый шум малой мощности.

В электронной музыке белый шум используется как в качестве одного из инструментов музыкальной аранжировки, так и в качестве входного сигнала для специальных фильтров, формирующих шумовые сигналы других типов. Широко применяется также при синтезировании аудиосигналов, обычно для воссоздания звучания ударных инструментов, таких как тарелки.

В последнее время многие педиатры рекомендуют использовать звуки белого шума для успокоения и хорошего сна младенцев; предполагается, что в матке малыш постоянно слышал белый шум: стук сердца матери, работу желудка, шум крови в сосудах..

Белый шум используется для измерения частотных характеристик различных линейных динамических систем, таких как усилители, электронные фильтры, дискретные системы управления и т. д. При подаче на вход такой системы белого шума на выходе получаем сигнал, являющийся откликом системы на приложенное воздействие. Ввиду того, что комплексная частотная характеристика линейной системы есть отношение преобразования Фурье выходного сигнала к преобразованию Фурье входного сигнала, получить эту характеристику математически достаточно просто, причём для всех частот, для которых входной сигнал можно считать белым шумом.

Во многих генераторах случайных чисел (как программных, так и аппаратных) белый шум используется для генерирования случайных чисел и случайных последовательностей.

В операционной системе Linux консольная команда speaker-test, генерирующая белый либо розовый шум, используется для проверки наушников/колонок.

Математический обзор

Вектор случайных чисел

Вектор случайных чисел w {displaystyle mathbf {w} } является последовательностью отсчётов белого шума, когда его среднее значение μ w {displaystyle mu _{w}} и автокорреляционная матрица R w w {displaystyle R_{ww}} удовлетворяют следующим равенствам:

μ w = E { w } = 0 {displaystyle mu _{w}=mathbb {E} {mathbf {w} }=0} R w w = E { w w T } = σ 2 I {displaystyle R_{ww}=mathbb {E} {mathbf {w} mathbf {w} ^{T}}=sigma ^{2}mathbf {I} }

То есть, это вектор случайных чисел с нулевым средним значением, автокорреляционная матрица которого представляет собой диагональную матрицу с дисперсиями по главной диагонали.

Белый случайный процесс (белый шум)

Непрерывный во времени случайный процесс w ( t ) {displaystyle w(t)} , где t ∈ R {displaystyle tin mathbb {R} } , является белым шумом тогда и только тогда, когда его математическое ожидание и автокорреляционная функция удовлетворяют следующим равенствам соответственно:

μ w ( t ) = E { w ( t ) } = 0 {displaystyle mu _{w}(t)=mathbb {E} {w(t)}=0} R w w ( t 1 , t 2 ) = E { w ( t 1 ) w ( t 2 ) } = σ 2 δ ( t 1 − t 2 ) {displaystyle R_{ww}(t_{1},t_{2})=mathbb {E} {w(t_{1})w(t_{2})}=sigma ^{2}delta (t_{1}-t_{2})} .

Если величина σ 2 {displaystyle sigma ^{2}} не зависит от времени, то случайный процесс является стационарным белым шумом, если зависит от времени — нестационарным белым шумом.

В других обозначениях, более близких радиофизикам отечественной школы:

⟨ w ( t ) ⟩ = 0 {displaystyle langle w(t) angle =0{frac {}{}}} B w w ( t 1 , t 2 ) ≡ ⟨ [ w ( t 1 ) − ⟨ w ( t 1 ) ⟩ ] [ w ( t 2 ) − ⟨ w ( t 2 ) ⟩ ] ⟩ = ⟨ w ( t 1 ) w ( t 2 ) ⟩ = σ w 2 δ ( t 1 − t 2 ) {displaystyle B_{ww}(t_{1},t_{2})equiv langle ,[w(t_{1})-langle w(t_{1}) angle ],[w(t_{2})-langle w(t_{2}) angle ], angle =langle ,w(t_{1})w(t_{2}), angle =sigma _{w}^{2}delta (t_{1}-t_{2})} .

То есть, это случайный процесс с нулевым математическим ожиданием, имеющий автокорелляционную функцию, являющуюся дельта-функцией Дирака. Такая автокорреляционная функция предполагает следующую спектральную плотность мощности:

S w w ( ω ) = σ w 2 {displaystyle S_{ww}(omega )=sigma _{w}^{2}}

так как преобразование Фурье дельта-функции равно единице на всех частотах. Ввиду того, что спектральная плотность мощности одинакова на всех частотах, белый шум и получил своё название (по аналогии с частотным спектром белого света).