Векторный потенциал
В векторном анализе векторный потенциал — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого равен заданному векторному полю.
Формально, если v {displaystyle mathbf {v} } — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A {displaystyle mathbf {A} } такое, что
v = ∇ × A . {displaystyle mathbf {v} = abla imes mathbf {A} .}Если A {displaystyle mathbf {A} } является векторным потенциалом для поля v {displaystyle mathbf {v} } , то из тождества
∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {displaystyle abla cdot ( abla imes mathbf {A} )=0}(дивергенция ротора равна нулю) следует
∇ ⋅ v = ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 , {displaystyle abla cdot mathbf {v} = abla cdot ( abla imes mathbf {A} )=0,}то есть v {displaystyle mathbf {v} } должно быть соленоидальным векторным полем.
Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.
Теорема
Пусть
v : R 3 → R 3 {displaystyle mathbf {v} :mathbb {R} ^{3} o mathbb {R} ^{3}}— дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле. Предположим, что v ( x ) {displaystyle mathbf {v} left(mathbf {x} ight)} убывает достаточно быстро при ‖ x ‖ → ∞ {displaystyle |mathbf {x} | ightarrow infty } . Определим
A ( x ) = 1 4 π ∇ × ∫ R 3 v ( y ) ‖ x − y ‖ d y . {displaystyle mathbf {A} (mathbf {x} )={frac {1}{4pi }} abla imes int limits _{mathbb {R} ^{3}}{frac {mathbf {v} (mathbf {y} )}{left|mathbf {x} -mathbf {y} ight|}},dmathbf {y} .}Тогда A {displaystyle mathbf {A} } является векторным потенциалом для v {displaystyle mathbf {v} } , то есть
∇ × A = v . {displaystyle abla imes mathbf {A} =mathbf {v} .}Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца, согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.
Неоднозначность выбора потенциала
Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A {displaystyle mathbf {A} } является векторным потенциалом для v {displaystyle mathbf {v} } , также им является
A + ∇ m , {displaystyle mathbf {A} + abla m,}где m {displaystyle m} — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.
В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки.
Векторный потенциал в физике
Уравнения Максвелла
Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал A {displaystyle mathbf {A} } вводится таким образом, что
μ 0 H = B = rot A {displaystyle mu _{0}mathbf {H} =mathbf {B} =operatorname {rot} mathbf {A} } (в системе СИ).При этом уравнение div B = 0 {displaystyle operatorname {div} mathbf {B} =0} удовлетворяется автоматически.
Подстановка выражения для A {displaystyle mathbf {A} } в
rot E = − ∂ B ∂ t {displaystyle operatorname {rot} mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}}приводит к уравнению
rot ( E + ∂ A ∂ t ) = 0 , {displaystyle operatorname {rot} left(mathbf {E} +{frac {partial mathbf {A} }{partial t}} ight)=0,}согласно которому, так же как и в электростатике вводится скалярный потенциал. Однако теперь в E {displaystyle mathbf {E} } вносят вклад и скалярный и векторный потенциал:
E = − grad φ − ∂ A ∂ t . {displaystyle mathbf {E} =-operatorname {grad} ;varphi -{frac {partial mathbf {A} }{partial t}}.}Из уравнения rot H = j + ∂ D ∂ t {displaystyle operatorname {rot} mathbf {H} =mathbf {j} +{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}} следует
rot rot A = μ 0 j + ε 0 μ 0 ∂ ∂ t ( − grad φ − ∂ A ∂ t ) . {displaystyle operatorname {rot} ;operatorname {rot} mathbf {A} =mu _{0}mathbf {j} +varepsilon _{0}mu _{0}{frac {partial }{partial t}}left(-operatorname {grad} ;varphi -{frac {partial mathbf {A} }{partial t}} ight).}Используя равенство rot rot A = grad div A − ∇ 2 A {displaystyle operatorname {rot} ;operatorname {rot} mathbf {A} =operatorname {grad} ;operatorname {div} mathbf {A} - abla ^{2}mathbf {A} } , уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде
Δ A − grad ( div A + 1 c 2 ∂ φ ∂ t ) − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ 0 j , {displaystyle Delta mathbf {A} -operatorname {grad} left(operatorname {div} mathbf {A} +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}} ight)-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}mathbf {A} }{partial t^{2}}}=-mu _{0}mathbf {j} ,} Δ φ + ∂ ∂ t div A = − ρ ε 0 . {displaystyle Delta varphi +{frac {partial }{partial t}}operatorname {div} mathbf {A} =-{frac { ho }{varepsilon _{0}}}.}Физический смысл векторного потенциала
В классической электродинамике векторный потенциал достаточно часто трактовался как величина, не имеющая непосредственного физического смысла, формально вводимая лишь для удобства выкладок, хотя уже в структуре действия для классической электродинамики векторный потенциал входит таким прямым образом, что это наводит на мысль о его фундаментальном характере.
В квантовой теории это имеет прозрачный физический смысл прямого влияния векторного потенциала на фазу волновой функции движущейся в магнитном поле частицы. Более того, удалось поставить квантовые эксперименты, показавшие, что векторный потенциал доступен достаточно непосредственному в некотором смысле измерению (по крайней мере, речь идёт о том, что векторный потенциал может влиять наблюдаемым измеримым образом на квантовую частицу даже тогда, когда напряженность магнитного поля в областях, доступных частице, всюду равна нулю, то есть магнитное поле не может оказывать воздействие на частицу через напряженность, а лишь прямо — через векторный потенциал; см. Эффект Ааронова — Бома).
Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии, векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса. Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.