Метод Феррари


Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.

Описание метода

Пусть уравнение 4 {displaystyle 4} -й степени имеет вид

Если y 1 {displaystyle y_{1}} — произвольный корень кубического уравнения

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

x 2 + a 2 x + y 1 2 = ± ( a 2 4 − b + y 1 ) x 2 + ( a 2 y 1 − c ) x + y 1 2 4 − d , {displaystyle x^{2}+{frac {a}{2}}x+{frac {y_{1}}{2}}=pm {sqrt {left({frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1} ight)x^{2}+left({frac {a}{2}}y_{1}-c ight)x+{frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}},}

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + D x + E = 0 , {displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,}

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

α = − 3 B 2 8 A 2 + C A , {displaystyle alpha =-{3B^{2} over 8A^{2}}+{C over A},} β = B 3 8 A 3 − B C 2 A 2 + D A , {displaystyle eta ={B^{3} over 8A^{3}}-{BC over 2A^{2}}+{D over A},} γ = − 3 B 4 256 A 4 + B 2 C 16 A 3 − B D 4 A 2 + E A , {displaystyle gamma =-{3B^{4} over 256A^{4}}+{B^{2}C over 16A^{3}}-{BD over 4A^{2}}+{E over A},} если β = 0 {displaystyle eta =0} , тогда, решив u 4 + α u 2 + γ = 0 {displaystyle u^{4}+alpha u^{2}+gamma =0} и, сделав подстановку x = u − B 4 A {displaystyle x=u-{B over 4A}} , найдём корни: x = − B 4 A ± s − α ± t α 2 − 4 γ 2 , β = 0 {displaystyle x=-{B over 4A}pm _{s}{sqrt {-alpha pm _{t}{sqrt {alpha ^{2}-4gamma }} over 2}},qquad eta =0} . P = − α 2 12 − γ , {displaystyle P=-{alpha ^{2} over 12}-gamma ,} Q = − α 3 108 + α γ 3 − β 2 8 , {displaystyle Q=-{alpha ^{3} over 108}+{alpha gamma over 3}-{eta ^{2} over 8},} R = − Q 2 ± Q 2 4 + P 3 27 {displaystyle R=-{Q over 2}pm {sqrt {{Q^{2} over 4}+{P^{3} over 27}}}} , (любой знак квадратного корня подойдёт) U = R 3 {displaystyle U={sqrt[{3}]{R}}} , (три комплексных корня, один из которых подойдёт) y = − 5 6 α + U + { U = 0 → − Q 3 U ≠ 0 → − P 3 U , {displaystyle y=-{5 over 6}alpha +U+{egin{cases}U=0& o -{sqrt[{3}]{Q}}U eq 0& o {-P over 3U}end{cases}},} W = α + 2 y {displaystyle W={sqrt {alpha +2y}}} x = − B 4 A + ± s W ± t − ( 3 α + 2 y ± s 2 β W ) 2 . {displaystyle x=-{B over 4A}+{pm _{s}Wpm _{t}{sqrt {-left(3alpha +2ypm _{s}{2eta over W} ight)}} over 2}.}


Здесь ± s {displaystyle pm _{s}} и ± t {displaystyle pm _{t}} — два независимых параметра, каждый из которых равен либо + {displaystyle +} , либо − {displaystyle -} . Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений ± s {displaystyle pm _{s}} и ± t {displaystyle pm _{t}} равно степени его кратности. В зависимости от выбора U {displaystyle U} (при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.

Вывод

Пусть имеется уравнение канонического вида:

  x 4 + a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle x^{4}+ax^{2}+bx+c=0}

Обозначим корни уравнения как x 1 , x 2 , x 3 , x 4 {displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}} . Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение

  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 : {displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:}

Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это

  x 3 = − W + i V {displaystyle x_{3}=-W+iV}   x 4 = − W − i V {displaystyle x_{4}=-W-iV}

Причём W {displaystyle W} , V {displaystyle V} — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как

  x 1 = W + i K {displaystyle x_{1}=W+iK}   x 2 = W − i K {displaystyle x_{2}=W-iK}

Здесь K {displaystyle K} может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения

  a = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 = x 1 x 2 + ( x 1 + x 2 ) ( x 3 + x 4 ) + x 3 x 4 = {displaystyle a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=}   = ( W 2 + K 2 ) + ( W 2 + V 2 ) − 4 W 2 = V 2 + K 2 − 2 W 2 {displaystyle =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^{2}}

Выразим К через остальные коэффициенты:

  K 2 = a + 2 W 2 − V 2 {displaystyle K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}}   c = x 1 x 2 x 3 x 4 = W 4 + ( V 2 + K 2 ) W 2 + K 2 V 2 = W 4 + 2 W 4 + a V 2 + 2 W 2 V 2 − V 4 + a W 2 {displaystyle c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2}V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}}

или

  V 4 − ( a + 2 W 2 ) V 2 + c − 3 W 4 − a W 2 = 0 {displaystyle V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0}

Итого

  V 2 = 1 / 2 ( ( a + 2 W 2 ) ± a 2 − 4 c + 8 a W 2 + 16 W 4 ) {displaystyle V^{2}=1/2((a+2W^{2})pm {sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}})}   b = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = ( W 2 + K 2 ) ⋅ ( − 2 W ) + ( W 2 + V 2 ) ⋅ ( 2 W ) = 2 W ( V 2 − K 2 ) = {displaystyle b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=(W^{2}+K^{2})cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})cdot (2W)=2W(V^{2}-K^{2})=}   = 2 W ( 2 V 2 − a − 2 W 2 ) = 2 W ⋅ a 2 − 4 c + 8 a W 2 + 16 W 4 {displaystyle =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2Wcdot {sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}}}

Или   b 2 = 2 W 2 ⋅ ( a 2 − 4 c + 8 a W 2 + 16 W 4 ) {displaystyle b^{2}=2W^{2}cdot (a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4})}

Отсюда   32 W 6 + 16 a W 4 + 2 ( a 2 − 4 c ) W 2 − b 2 = 0 {displaystyle 32W^{6}+16aW^{4}+2(a^{2}-4c)W^{2}-b^{2}=0}

Заменяя   y = W 2 {displaystyle y=W^{2}} , получаем резольвенту, решив которую, находим W

История

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».


  • Предел Лапласа
  • Потенциальная температура
  • Уравнение Гейзенберга
  • Нелинейная задача собственных значений
  • Метод конечных разностей

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования