Ряды Эйзенштейна

Ряды Эйзенштейна, названные в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна — специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда.

Определение

Ряд Эйзенштейна G 2 k {displaystyle G_{2k}} веса 2 k {displaystyle 2k} — функция, определённая на верхней полуплоскости { I m ( τ ) > 0 } ⊂ C {displaystyle {Im( au )>0}subset mathbb {C} } и заданная как сумма ряда

G 2 k ( τ ) = ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) 1 ( m + n τ ) 2 k . {displaystyle G_{2k}( au )=sum _{(m,n) eq (0,0)}{frac {1}{(m+n au )^{2k}}}.}

Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции переменной τ {displaystyle au } .

Свойства

Модулярность

Ряд Эйзенштейна задаёт модулярную форму веса 2 k {displaystyle 2k} : для любых целых a , b , c , d ∈ Z {displaystyle a,b,c,din mathbb {Z} } с a d − b c = 1 {displaystyle ad-bc=1} имеем

G 2 k ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) 2 k G 2 k ( τ ) . {displaystyle G_{2k}left({frac {a au +b}{c au +d}} ight)=(c au +d)^{2k}G_{2k}( au ).}

Это следует из того, что ряд Эйзенштейна можно представить как функцию от порождённой 1 и τ решётки Γ = ⟨ 1 , τ ⟩ {displaystyle Gamma =langle 1, au angle } , продолжив его на всё пространство решёток:

G 2 k ( Γ ) = ∑ z ∈ Γ ∖ { 0 } z − 2 k . {displaystyle G_{2k}(Gamma )=sum _{zin Gamma setminus {0}}z^{-2k}.}

Тогда G 2 k ( λ Γ ) = λ − 2 k G 2 k ( Γ ) . {displaystyle G_{2k}(lambda Gamma )=lambda ^{-2k}G_{2k}(Gamma ).} Соотношение модулярности тогда соответствует переходу от базиса { τ , 1 } {displaystyle { au ,1}} к базису { a τ + b , c τ + d } {displaystyle {a au +b,c au +d}} той же решётки (что не изменяет значения G 2 k ( Γ ) {displaystyle G_{2k}(Gamma )} ) и нормированию второго элемента нового базиса на 1.

Представление модулярных форм

Более того, как оказывается, любая модулярная форма (произвольного веса 2 m {displaystyle 2m} ) выражается как полином от G 4 {displaystyle G_{4}} и G 6 {displaystyle G_{6}} :

f = ∑ 4 k + 6 l = 2 m a k G 4 k G 6 l . {displaystyle f=sum _{4k+6l=2m}a_{k}G_{4}^{k}G_{6}^{l}.}

Связь с эллиптическими кривыми

℘ {displaystyle wp } -функция Вейерштрасса эллиптической кривой E = C / Γ {displaystyle E=mathbb {C} /Gamma } раскладывается в ряд Лорана в нуле как

℘ E ( z ) = 1 z 2 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k + 1 ) G 2 k + 2 ( Γ ) z 2 k . {displaystyle wp _{E}(z)={frac {1}{z^{2}}}+sum _{k=1}^{infty }(2k+1)G_{2k+2}(Gamma )z^{2k}.}

В частности, модулярные инварианты кривой E равны

g 2 = 60 G 4 , g 3 = 140 G 6 . {displaystyle g_{2}=60G_{4},quad g_{3}=140G_{6}.}