Индикатриса Дюпена

Индикатриса Дюпена или индикатриса кривизны — плоская кривая, которая даёт наглядное представление об искривленности поверхности в данной её точке.

Определение и свойства

Индикатриса Дюпена лежит в плоскости, касательной к поверхности S {displaystyle S} в точке p {displaystyle p} , и является совокупностью концов отрезков, отложенных от точки p {displaystyle p} в направлении u {displaystyle u} в касательной плоскости и имеющих длину, равную 1 / κ u {displaystyle 1/{sqrt {kappa _{u}}}} , где κ u {displaystyle kappa _{u}} — абсолютная величина нормальной кривизны поверхности S {displaystyle S} в точке p {displaystyle p} в направлении u {displaystyle u} . Уравнение индикатрисы Дюпена имеет вид

| I I p ( v ) | = 1 , {displaystyle |II_{p}(v)|=1,}

где v {displaystyle v} — вектор касательной плоскости, a I I p {displaystyle II_{p}} — вторая фундаментальная форма поверхности S {displaystyle S} , в точке p {displaystyle p} .

Индикатриса Дюпена представляет собой:

• эллипс, если p {displaystyle p} — эллиптическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна положительна.
  • В частности, окружность, если p {displaystyle p} — точка округления;
• пару сопряженных гипербол, если p {displaystyle p} — гиперболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна отрицательна;
• пару параллельных прямых, если p {displaystyle p} — параболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна равна нулю, но средняя кривизна не равна нулю.

История

Индикатриса Дюпена названа по имени Дюпена, впервые применившего эту кривую к исследованию поверхностей (1813).