Теорема Дирихле о рядах Фурье

Теорема Дирихле о разложении периодической функции в ряд Фурье.

Формулировка

Пусть f(x) — периодическая функция с периодом 2 π, пусть на интервале от -π до π функция f(x) имеет конечное количество точек строгого экстремума и может иметь конечное количество точек разрыва, причем только первого рода, тогда такая функция разлагается в ряд Фурье:

( f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) ) 2 = a 0 2 + ∑ ( a n ⋅ cos ⁡ ( n x ) + b n ⋅ sin ⁡ ( n x ) ) {displaystyle {frac {(f(x-0)+f(x+0))}{2}}={frac {a_{0}}{2}}+sum (a_{n}cdot cos(nx)+b_{n}cdot sin(nx))}

где a0, an, bn — коэффициенты Фурье:

a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x , {displaystyle a_{0}={frac {1}{pi }}int limits _{-pi }^{pi }fleft(x ight)dx,} a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x , {displaystyle a_{n}={frac {1}{pi }}int limits _{-pi }^{pi }fleft(x ight)cos(nx)dx,} b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x , {displaystyle b_{n}={frac {1}{pi }}int limits _{-pi }^{pi }fleft(x ight)sin(nx)dx,}

f(x-0) и f(x+0) — левосторонний и правосторонний пределы функции f в точке x.

Замечание

Если x — точка непрерывности функции f(x), то

f ( x − 0 ) = f ( x + 0 ) ⇒ f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) 2 = f ( x ) . {displaystyle f(x-0)=f(x+0)Rightarrow {frac {f(x-0)+f(x+0)}{2}}=f(x).}

То есть в точках непрерывности ряд Фурье сходится к значению этих точек, а в точках разрыва к среднему арифметическому между левосторонним и правосторонним пределами.