Неравенство Эрдёша — Морделла

Неравенство Эрдёша — Морделла (неравенство Эрдёша — Морделла — Барроу) — планиметрическое утверждение, устанавливает связь между расстояниями от точки внутри треугольника до его сторон с расстояниями от той же точки до вершин треугольника.

Неравенство

Пусть точка M {displaystyle M} лежит внутри треугольника A B C {displaystyle ABC} . Обозначим расстояния от точки M {displaystyle M} до сторон B C , C A , A B {displaystyle BC,CA,AB} треугольника через d a , d b , d c {displaystyle d_{a},d_{b},d_{c}} , а расстояния от точки M {displaystyle M} до вершин A , B , C {displaystyle A,B,C} через R a , R b , R c {displaystyle R_{a},R_{b},R_{c}} . Тогда

R a + R b + R c ⩾ 2 ( d a + d b + d c ) . {displaystyle R_{a}+R_{b}+R_{c}geqslant 2(d_{a}+d_{b}+d_{c}).}

История

Эрдёш выдвинул это утверждение в качестве гипотезы в 1935 году (Erdős 1935). Через два года доказательство дал Морделл (Mordell & Barrow 1937). Однако его доказательство было весьма сложным. Более простые доказательства даны в (Kazarinoff 1957), (Bankoff 1958) и (Alsina & Nelsen 2007).