H-пространство

H-пространство — обобщение понятия топологической группы определённого типа.

Определение

Связное топологическое пространство X {displaystyle X} вместе с непрерывным отображением

μ : X × X → X {displaystyle mu colon X imes X o X}

с единичным элементом, то есть элементом e ∈ X {displaystyle ein X} такое, что

μ ( e , x ) = μ ( x , e ) = x {displaystyle mu (e,x)=mu (x,e)=x}

для любого x ∈ X {displaystyle xin X} называется H-пространством.

Замечания

• Иногда ограничиваются более слабым условием, что отображения x ↦ μ ( e , x ) {displaystyle xmapsto mu (e,x)} и x ↦ μ ( x , e ) {displaystyle xmapsto mu (x,e)} гомотопны тождественному (иногда с фиксированным e ∈ X {displaystyle ein X} ).
  • Данные три определения являются эквивалентными для СW-комплексов.

Примеры

• Каждая топологическая группа является H-пространством.
• Для произвольного топологического пространства X {displaystyle X} пространство H X {displaystyle {mathcal {H}}_{X}} всех непрерывных отображений X → X {displaystyle X o X} , гомотопных тождественному, является H-пространством.
  • При этом μ : H X × H X → H X {displaystyle mu colon {mathcal {H}}_{X} imes {mathcal {H}}_{X} o {mathcal {H}}_{X}} можно определить как композицию μ ( f , g ) = f ∘ g {displaystyle mu (f,g)=fcirc g} .

• Среди сфер, только S 0 {displaystyle mathbb {S} ^{0}} , S 1 {displaystyle mathbb {S} ^{1}} , S 3 {displaystyle mathbb {S} ^{3}} и S 7 {displaystyle mathbb {S} ^{7}} являются H-пространствами. При этом
  • Каждое из этих пространств образует подмножество элементов с единичной нормой среди вещественных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов соответственно.
  • S 0 {displaystyle mathbb {S} ^{0}} , S 1 {displaystyle mathbb {S} ^{1}} и S 3 {displaystyle mathbb {S} ^{3}} являются группами Ли, а S 7 {displaystyle mathbb {S} ^{7}} — нет.

Свойства

• Фундаментальная группа H-пространства является абелевой.