Ньютонов потенциал

Ньютоновым потенциалом называют функцию, заданную в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x|−1:

V = 1 | x | ∗ ρ . {displaystyle V={frac {1}{|x|}}* ho .}

Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ.

Объёмный потенциал

Если ρ — интегрируемая функция на некоторой области G и ρ(x)=0, x ∈ R 3 ∖ G ¯ {displaystyle xin mathbb {R} ^{3}setminus {overline {G}}} . то ньютонов потенциал, называемый объемным потенциалом можно выразить через интеграл

V ( x ) = ∭ G ρ ( y ) | x − y | d y {displaystyle V(x)=iiint limits _{G}{frac { ho (y)}{|x-y|}}dy}

О гладкости потенциала можно сказать следующее. Если ρ ∈ C(G), то V(x) ∈ C1(ℝ3) и ΔV(x) = 0 при x ∈ R 3 ∖ G ¯ {displaystyle mathbb {R} ^{3}setminus {overline {G}}} .

Потенциал простого слоя

Вместо области G теперь рассматривается ограниченная кусочно-гладкая поверхность с нормалью n, μ — непрерывная функция на S. Ньютоновым потенциалом простого слоя называется свёртка

V ( 0 ) = 1 | x | ∗ μ δ S {displaystyle V^{(0)}={frac {1}{|x|}}*mu delta _{S}}

или в интегральном виде:

V ( 0 ) ( x ) = ∬ S μ ( y ) | x − y | d S y , {displaystyle V^{(0)}(x)=iint limits _{S}{frac {mu (y)}{|x-y|}}dS_{y},}

Потенциал простого слоя гармоничен вне области S, является непрерывным всюду в ℝ3 и в бесконечно удаленной точке стремится к нулю. Кроме того, если S — поверхность Ляпунова, то на ней наблюдается разрыв нормальной производной потенциала простого слоя:

∂ V ( 0 ) ∂ n | + = − 2 π μ ( S ) + ∂ V ( 0 ) ∂ n | S , {displaystyle {frac {partial V^{(0)}}{partial mathbf {n} }}{Bigg |}_{+}=-2pi mu (S)+{frac {partial V^{(0)}}{partial mathbf {n} }}{Bigg |}_{S},} ∂ V ( 0 ) ∂ n | − = 2 π μ ( S ) + ∂ V ( 0 ) ∂ n | S , {displaystyle {frac {partial V^{(0)}}{partial mathbf {n} }}{Bigg |}_{-}=2pi mu (S)+{frac {partial V^{(0)}}{partial mathbf {n} }}{Bigg |}_{S},}

где индексы «+» и «-» обозначают соответственно внешнюю и внутреннюю производные на S.

В случае постоянной плотности μ и поверхности Ляпунова потенциал простого слоя равен:

V ( 0 ) ( x ) = { 4 π μ R 2 | x | ,   | x | ⩾ R , 4 π μ R ,   | x | < R . {displaystyle V^{(0)}(x)={egin{cases}4pi mu {frac {R^{2}}{|x|}}, |x|geqslant R,4pi mu R, |x|<R.end{cases}}}

Потенциал двойного слоя

Полностью аналогично потенциалу простого слоя вводится ньютоновский потенциал двойного слоя:

V ( 1 ) ( x ) = − 1 | x | ∗ ∂ ∂ n ( ν δ S ) = ∬ S ν ( y ) ∂ ∂ n y 1 | x − y | d S y = ∬ S μ cos ⁡ φ | x − y | 2 d S y , {displaystyle V^{(1)}(x)=-{frac {1}{|x|}}*{frac {partial }{partial mathbf {n} }}( u delta _{S})=iint limits _{S} u (y){frac {partial }{partial mathbf {n} _{y}}}{frac {1}{|x-y|}}dS_{y}=iint limits _{S}mu {frac {cos varphi }{|x-y|^{2}}}dS_{y},}

где φ — угол между нормалью к поверхности S в точке y и радиус-вектором, направленном из точки x в точку y.

Потенциал двойного слоя непрерывен в замыкании области, ограничиваемой поверхностью S, непрерывен вне этой области и непрерывен на самой поверхности S, если она является поверхностью Ляпунова, однако при переходе через поверхность S он претерпевает разрыв:

V + ( 1 ) ( S ) = 2 π ν ( S ) + V ( 1 ) ( S ) , {displaystyle V_{+}^{(1)}(S)=2pi u (S)+V^{(1)}(S),} V − ( 1 ) ( S ) = − 2 π ν ( S ) + V ( 1 ) ( S ) . {displaystyle V_{-}^{(1)}(S)=-2pi u (S)+V^{(1)}(S).}

На бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю.

В случае постоянной плотности ν и поверхности Ляпунова потенциал двойного слоя равен:

V ( 1 ) ( x ) = { 0 ,   x ∈ R 3 ∖ G ¯ , − 2 π ν ,   x ∈ S , − 4 π ν ,   x ∈ G . {displaystyle V^{(1)}(x)={egin{cases}0, xin mathbb {R} ^{3}setminus {overline {G}},-2pi u , xin S,-4pi u , xin G.end{cases}}}

Физический смысл ньютоновских потенциалов

Так как потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона, он может быть создан массами или зарядами, распределенными в пространстве с плотностью ρ. В частности, непрерывное распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают потенциал простого слоя; если же на поверхности сосредоточены диполи, то это потенциал двойного слоя.