Математическая формула
Математическая формула (от лат. formula — уменьшительное от forma — образ, вид) в математике, а также физике и других естественных науках — символическая запись высказывания (которое выражает логическое суждение), либо формы высказывания. Формула, наряду с термами, является разновидностью выражения формализованного языка. В более широком смысле формула — всякая чисто символьная запись (см. ниже), противопоставляемая в математике различным выразительным способам, имеющим геометрическую коннотацию: чертежам, графикам, диаграммам, графам и т. п.
Основные виды (численных) формул
Как правило, в формулу входят переменные (одна или более), причём сама формула представляет собой не просто выражение, а некое суждение. Такое суждение может утверждать что-то о переменных, а может — о применяемых операциях. Точный смысл формулы зачастую подразумевается из контекста и его невозможно понять непосредственно из её вида. Можно выделить три распространённых случая:
- Формула должна сообщить, как искать значения переменной (уравнения и т. п.);
- Формула (записываемая как «искомое = выражение») определяет величину через свои параметры (аналогично присваиванию в программировании и иногда записывается через диграф «:=» как в языке Pascal, но в принципе может считаться вырожденным частным случаем уравнения);
- Формула является собственно логическим утверждением: тождеством (например, аксиомой), утверждением теоремы и т. п.
Уравнения
Уравнение — формула, внешняя (верхняя) связка которого представляет собой бинарное отношение равенства. Однако важная особенность уравнения заключается также в том, что входящие в него символы делятся на переменные и параметры (присутствие последних, впрочем, необязательно). Например, x 2 = 1 {displaystyle x^{2}=1} является уравнением, где x — переменная. Значения переменной, при которых равенство истинно, называются корнями уравнения: в данном случае таковыми являются два числа 1 и −1. Как правило, если уравнение на одну переменную не является тождеством (см. ниже), то корни уравнения представляют собой дискретное, чаще всего конечное (возможно и пустое) множество.
Если в уравнение входят параметры, то его смысл — для заданных параметров найти корни (то есть значения переменной, при котором равенство верно). Иногда это можно сформулировать как нахождение неявной зависимости переменной от параметра (параметров). Например x 2 = a {displaystyle x^{2}=a} понимается как уравнение на x (это обычная буква для обозначения переменной, наряду с y, z и t). Корнями уравнения является квадратный корень из a (считается, что их имеется два, разных знаков). Следует отметить, что подобная формула, сама по себе, задаёт лишь бинарное отношение между x и a и её можно понимать в обратную сторону, как уравнение на a относительно x. В данном элементарном случае, речь может идти скорее об определении a через x: a = x 2 {displaystyle a=x^{2}} .
Тождества
Тождество — суждение, верное при любых значениях переменных. Обычно, под тождеством подразумевают тождественно верное равенство, хотя снаружи тождества может стоять и неравенство или какое-либо другое отношение. Во многих случаях тождество можно понимать как некое свойство используемых в нём операций, например тождество a + b = b + a {displaystyle a+b=b+a} утверждает коммутативность сложения.
С помощью математической формулы довольно сложные предложения могут быть записаны в компактной и удобной форме. Формулы, становящиеся истинными при любом замещении переменных конкретными объектами из некоторой области, называются тождественно-истинными в данной области. Например: «для любых a и b имеет место равенство ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} ». Данное тождество можно вывести из аксиом сложения и умножения в коммутативном кольце, которые сами по себе также имеют вид тождеств.
Тождество может и не включать в себя переменные и являться арифметическим (или каким-то ещё) равенством, как например 6 3 = 3 3 + 4 3 + 5 3 {displaystyle 6^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}} .
Приближённые равенства
Например: x ≈ sin ( x ) {displaystyle xapprox sin(x)} — приближённое равенство при малых x {displaystyle x} ;
Неравенства
Формула-неравенство может пониматься в обоих описанных в начале раздела смыслах: как тождество (например, неравенство Коши — Буняковского) или же, подобно уравнению, как задача на отыскание множества (а точнее, подмножества области определения), которому может принадлежать переменная, или переменные.
Используемые операции
В данном разделе будут перечислены операции, используемые в алгебре, а также некоторые общеупотребительные функции из математического анализа.
Сложение и вычитание
Используются знаки «+» и «−» (последний на письме довольно слабо отличим от дефиса). Унарный минус чаще используется лишь при первом (левом) слагаемом, поскольку другие случаи, типа «a + (−b)» и «a − (−b)», ничем не отличаются по смыслу от более простых «a − b» и «a + b» соответственно.
По причине ассоциативности сложения, расстановка скобок для задания порядка выполнения сложения не имеет математического смысла. В алгебре слагаемыми называют аргументы как сложения, так и вычитания. Порядок выполнения вычитания, при отсутствии скобок, таков, что вычитаемым оказывается лишь член, выписанный непосредственно справа от знака вычитания, а не результат выполнения операций каких-либо сложения и вычитания, записанных правее. Таким образом со знаком минус входят в сумму лишь те «слагаемые», непосредственно слева от которых знак «−» имеется.
Умножение
Знак умножения чаще всего опускается. Это не вызывает двусмысленности, поскольку переменные обозначаются обычно одиночными буквами, а выписывать умножение записанных цифрами констант друг на друга бессмысленно. В редких случаях, когда двусмысленности не избежать, умножение обозначается центрированным по вертикали символом точки «·». Символ «×» применяется лишь в школьной арифметике, в технических текстах (в особом контексте), а также некоторые системы вставляют его на месте знака умножения при переносе формулы на другую строку (обычно, перенос по знаку умножения избегается).
Деление
Деление в формулах записывается при помощи дробной черты. В школьной арифметике применяется также «÷» (обелюс).
Возведение в степень
Элементарные функции
Абсолютная величина, знак и т. п.
Приоритет операций и скобки
Приоритет, ранг или старшинство операции или оператора — формальное свойство оператора/операции, влияющее на очерёдность его выполнения в выражении с несколькими различными операторами при отсутствии явного (с помощью скобок) указания на порядок их вычисления. Например, операцию умножения обычно наделяют большим приоритетом, чем операцию сложения, поэтому в выражении будет получено сначала произведение y и z, а потом уже сумма.
Примеры
Например:
2 + 2 = 7 {displaystyle 2+2=7} — пример формулы, имеющей значение «ложь»;
y = ln ( x ) + sin ( x ) {displaystyle y=ln(x)+sin(x)} — функция одного действительного аргумента;
z = y 3 y 2 + x 2 {displaystyle z={frac {y^{3}}{y^{2}+x^{2}}}} — функция нескольких аргументов (график одной из самых замечательных кривых — верзьера Аньези);
y = 1 − | 1 − x | {displaystyle y=1-|1-x|} — не дифференцируемая функция в точке x = 1 {displaystyle x=1} (непрерывная ломаная линия не имеет касательной);
x 3 + y 3 = 3 a x y {displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy} — уравнение, то есть неявная функция (график кривой «декартов лист»);
t n = n ! {displaystyle t_{n}=n!} — целочисленная функция;
y = y 3 sin ( n x ) {displaystyle y=y^{3}sin(nx)} — чётная функция;
y = tg ( x ) {displaystyle y=operatorname {tg} (x)} — нечётная функция;
f ( P ) = x 2 + y 2 + z 2 {displaystyle f(P)={sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} — функция точки, расстояние от точки до начала (декартовых) координат;
y = 1 x − 3 {displaystyle y={frac {1}{x-3}}} — разрывная функция в точке x = 3 {displaystyle x=3} ;
x = a [ t − sin ( t ) ] ; y = a [ 1 − cos ( t ) ] {displaystyle x=a[t-sin(t)],; y=a[1-cos(t)]} — параметрически заданная функция (график циклоиды);
y = ln ( x ) , x = e y {displaystyle y=ln(x), x=e^{y}} — прямая и обратная функции;
f ( x ) = ∫ − ∞ x | f ( t ) | d t {displaystyle f(x)=int limits _{-infty }^{x}|f(t)|,dt} — интегральное уравнение.