Теорема Майерса
Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.
Формулировка
Если кривизна Риччи полного n {displaystyle n} -мерного риманова многообразия M {displaystyle M} ограничена снизу положительной величиной ( n − 1 ) k {displaystyle (n-1)k} при некотором k {displaystyle k} , то его диаметр не превосходит π / k {displaystyle pi /{sqrt {k}}} . Более того, если диаметр равен π / k {displaystyle pi /{sqrt {k}}} , то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны k {displaystyle k} .
Следствия
Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого Риманова многообразия M {displaystyle M} . В частности, универсальное накрытие M {displaystyle M} конеченолистно и значит фундаментальная группа π 1 M {displaystyle pi _{1}M} конечна.
История
Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и Риновым.
Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизны, (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса).
Теорема доказана Майерсом.
Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году.