Полная производная функции
Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.
Расчёт полной производной функции f = f ( t , x ( t ) , y ( t ) ) {displaystyle f=f(t,x(t),y(t))} по времени t, d f d t {displaystyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} t}}} (в отличие от частной производной, ∂ f ∂ t {displaystyle {frac {partial f}{partial t}}} ) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.
Пример № 1
Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:
d d t f ( t 0 , x ( t 0 ) , y ( t 0 ) ) = ∂ f ∂ t | t 0 , x ( t 0 ) , y ( t 0 ) d t d t + ∂ f ∂ x | t 0 , x ( t 0 ) , y ( t 0 ) d x d t + ∂ f ∂ y | t 0 , x ( t 0 ) , y ( t 0 ) d y d t , {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}f(t_{0},x(t_{0}),y(t_{0}))=left.{frac {partial f}{partial t}} ight|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{frac {mathrm {d} t}{mathrm {d} t}}+left.{frac {partial f}{partial x}} ight|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}+left.{frac {partial f}{partial y}} ight|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} t}},}что упрощается до
d d t f ( t , x ( t ) , y ( t ) ) = ∂ f ∂ t + ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t , {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}f(t,x(t),y(t))={frac {partial f}{partial t}}+{frac {partial f}{partial x}}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}+{frac {partial f}{partial y}}{frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} t}},}где ∂ f ∂ t , ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y {displaystyle {frac {partial f}{partial t}},{frac {partial f}{partial x}},{frac {partial f}{partial y}}} — частные производные.
Следует отметить, что обозначение d f d t {displaystyle {frac {df}{dt}}} является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.
Пример №2
Например, полная производная функции f ( x ( t ) , y ( t ) ) {displaystyle f(x(t),y(t))} :
d f d t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t {displaystyle {df over dt}={partial f over partial x}{partial x over partial t}+{partial f over partial y}{partial y over partial t}}Здесь нет ∂ f ∂ t {displaystyle {partial f over partial t}} так как f {displaystyle f} сама по себе («явно») не зависит от t {displaystyle t} .
Приложения
- Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма