Теорема о трёх перпендикулярах


Теорема о трёх перпендикулярах — фундаментальная теорема стереометрии.

Формулировка

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярная к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Доказательство

Пусть A B {displaystyle AB} — перпендикуляр к плоскости α {displaystyle alpha } , A C {displaystyle AC} — наклонная и c {displaystyle c} — прямая в плоскости α {displaystyle alpha } , проходящая через точку C {displaystyle C} и перпендикулярная проекции B C {displaystyle BC} . Проведём прямую C K {displaystyle CK} параллельно прямой A B {displaystyle AB} . Прямая C K {displaystyle CK} перпендикулярна плоскости α {displaystyle alpha } (так как она параллельна A B {displaystyle AB} ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, C K {displaystyle CK} перпендикулярна прямой c {displaystyle c} . Проведём через параллельные прямые A B {displaystyle AB} и C K {displaystyle CK} плоскость β {displaystyle eta } (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая c {displaystyle c} перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости β {displaystyle eta } , это B C {displaystyle BC} по условию и C K {displaystyle CK} по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой A C {displaystyle AC} .

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Доказательство

Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная и с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК , значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α.

Пример использования

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Решение

Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость α. В плоскости α через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.


  • Теорема Майерса
  • Индикатриса Дюпена
  • Теорема Хартогса
  • Теорема унитарности
  • Квантили распределения Стьюдента

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования