Теорема Стилтьеса

Теорема Стилтьеса — теорема о свойствах нормальных семейств голоморфных функций одного и многих комплексных переменных. Названа в честь Томаса Стилтьеса.

Формулировка

Пусть F {displaystyle F} — последовательность голоморфных функций; D {displaystyle D} — область нормальности первого (второго) рода семейства, образованного из функций семейства F {displaystyle F} . Тогда, если в области D {displaystyle D} существует точка M 0 {displaystyle M_{0}} , в окрестности которой последовательность F {displaystyle F} сходится, то область D {displaystyle D} совпадает с областью равномерной сходимости первого (второго) рода последовательности F {displaystyle F} .

Доказательство

Доказательство аналогично случаю одного комплексного переменного.

Пояснения

Область D {displaystyle D} над пространством P n {displaystyle P^{n}} называется областью нормальности первого (второго) рода, если:

Существует множество функций F {displaystyle F} , голоморфных в области D {displaystyle D} и составляющих в этой области нормальное семейство первого (второго) рода.

Не существует области D ~ > D {displaystyle {widetilde {D}}>D} , обладающей по отношению к множеству F {displaystyle F} свойством, указанным в 1).