Постоянная Коупленда — Эрдёша

Постоянная Коупленда — Эрдёша — вещественное число, строящееся как конкатенация «0,» («ноль целых…») со сцепленной последовательностью возрастающих простых чисел в десятичной записи:

0,235711131719232931374143…

Постоянная иррациональна; данный факт можно доказать с помощью теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии или постулата Бертрана или теоремой Рамаре (гласящей, что любое чётное целое число является суммой не более шести простых чисел). Данный факт также следует из того, что данная постоянная — нормальное число; нормальность постоянной в десятичной записи доказана в 1949 году Артуром Коуплендом (англ. Arthur Herbert Copeland) и Палом Эрдёшом.

Любая постоянная, образованная конкатенацией «0,» со всеми простыми числами в арифметической прогрессии d n + a {displaystyle dn+a} , где a {displaystyle a} — взаимно простое число с числом d {displaystyle d} и числом 10, будет иррациональной. К примеру, таковы простые числа принимающие форму 4 n + 1 {displaystyle 4n+1} или 8 n + 1 {displaystyle 8n+1} . Согласно теореме Дирихле, арифметическая прогрессия d n ⋅ 10 m + a {displaystyle dncdot 10^{m}+a} содержит простые числа для любого числа m {displaystyle m} , и эти простые числа также находятся в c d + a {displaystyle cd+a} , следовательно среди этих конкатенацированных простых чисел будет содержаться любое желаемое количество нулей, следующих друг за другом.

Постоянная Коупленда — Эрдёша может быть выражена как:

∑ n = 1 ∞ p n 10 − ( n + ∑ k = 1 n ⌊ log 10 ⁡ p k ⌋ ) {displaystyle displaystyle sum _{n=1}^{infty }p_{n}10^{-left(n+sum _{k=1}^{n}lfloor log _{10}{p_{k}} floor ight)}} ,

где p n {displaystyle p_{n}} — это n {displaystyle n} -е простое число.

Непрерывная дробь числа — [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …].

Похожие постоянные

Для любой позиционной системы счисления с основанием b {displaystyle b} число:

∑ n = 1 ∞ b − p n {displaystyle displaystyle sum _{n=1}^{infty }b^{-p_{n}}} ,

которое может быть записано в этой системе счисления как 0,0110101000101000101…, где n {displaystyle n} -я цифра — это 1, если n {displaystyle n} — простое число, является иррациональным.

Постоянная Чемперноуна — конкатенация всех положительных целых чисел, а не только простых чисел.