Кусочно-гладкая функция

Кусочно-гладкая функция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, дифференцируемая на каждом из интервалов, составляющих область определения.

Формальное определение

Пусть заданы x 1 < x 2 < … < x n {displaystyle x_{1}<x_{2}<ldots <x_{n}} — точки смены формул.

Как и все кусочно-заданные функции, кусочно-гладкую функцию можно записывать на каждом из интервалов ( − ∞ ; x 1 ) , ( x 1 ; x 2 ) ; … ( x n ; + ∞ ) {displaystyle (-infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});ldots (x_{n};+infty )} отдельной формулой:

f ( x ) = { f 0 ( x ) , x < x 1 f 1 ( x ) , x 1 < x < x 2 ⋯ f n ( x ) , x n < x {displaystyle f(x)={egin{cases}f_{0}(x),quad x<x_{1}f_{1}(x),quad x_{1}<x<x_{2}cdots f_{n}(x),quad x_{n}<xend{cases}}}

Здесь f i ( x ) {displaystyle f_{i}(x)} — гладкие функции.

Если к тому же выполнены условия согласования

f i − 1 ( x i ) = f i ( x i ) = f ( x i ) {displaystyle f_{i-1}(x_{i})=f_{i}(x_{i})=f(x_{i})} при i = 1 , 2 , … , n {displaystyle i=1,2,ldots ,n} ,

то кусочно-гладкая функция будет непрерывной. Непрерывная кусочно-гладкая функция может служить сплайном.