Семнадцатая проблема Гильберта

Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова:

Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году, но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году.

Вариации и обобщения

• Существуют многочлены, которые неотрицательны при всех вещественных значениях аргументов, но не могут быть представлены в виде суммы квадратов других многочленов. Существование таких примеров было доказано Гильбертом. Более явные примеры таких многочленов были даны Моцкиным в 1967 году.
  • Например, многочлены f ( x , y ) = x 2 y 2 ( x 2 + y 2 − 3 ) + 1 , {displaystyle f(x,y)=x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-3)+1,} g ( x , y , z ) = z 6 + x 4 y 2 + x 2 y 4 − 3 x 2 y 2 z 2 {displaystyle g(x,y,z)=z^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}z^{2}}
  не могут быть представлены в виде суммы квадратов многочленов с вещественными коэффициентами. Но их можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций, например, f ( x , y ) = ( x 2 y ( x 2 + y 2 − 2 ) x 2 + y 2 ) 2 + ( x y 2 ( x 2 + y 2 − 2 ) x 2 + y 2 ) 2 + ( x y ( x 2 + y 2 − 2 ) x 2 + y 2 ) 2 + ( x 2 − y 2 x 2 + y 2 ) 2 . {displaystyle f(x,y)=left({ frac {x^{2}y(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2}}} ight)^{2}+left({ frac {xy^{2}(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2}}} ight)^{2}+left({ frac {xy(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2}}} ight)^{2}+left({ frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}} ight)^{2}.}
• Известны явные необходимые и достаточные условия того, что многочлен является суммой квадратов других многочленов.
• С 1950-х годов известно, что возможность представить многочлен в виде суммы квадратов многочленов связана с решением многомерной степенной проблемы моментов.
• Известно, что каждый неотрицательный многочлен может быть сколь угодно точно приближен (по l 1 {displaystyle l_{1}} -норме вектора его коэффициентов) многочленами, которые являются суммой квадратов многочленов.